Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12978
2023-05-08 
Дан треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные $AC$ и $BC$. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями треугольника $ABC$.
Решение:
Отложим на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ и на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отрезки $BC_{1}=CB_{1}=BC$. Пусть $A'$ - точка пересечения прямых $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Тогда прямая $AA'$ проходит через искомую точку.
Действительно, т.к. треугольники $BCB_{1}$ и $CBC_{1}$ равнобедренные, прямые $BB_{1}$ и $CC_{1}$ параллельны биссектрисам углов $C$ и $B$ треугольника $ABC$, а значит, параллельны биссектрисам углов треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника $ABC$ (серединного треугольника). При гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ эти прямые перейдут в биссектрисы углов серединного треугольника, а точка $A'$ пересечения этих прямых - в точку пересечения биссектрис серединного треугольника.
Дан треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные $AC$ и $BC$. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями треугольника $ABC$.
Решение:
Отложим на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ и на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отрезки $BC_{1}=CB_{1}=BC$. Пусть $A'$ - точка пересечения прямых $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Тогда прямая $AA'$ проходит через искомую точку.
Действительно, т.к. треугольники $BCB_{1}$ и $CBC_{1}$ равнобедренные, прямые $BB_{1}$ и $CC_{1}$ параллельны биссектрисам углов $C$ и $B$ треугольника $ABC$, а значит, параллельны биссектрисам углов треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника $ABC$ (серединного треугольника). При гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ эти прямые перейдут в биссектрисы углов серединного треугольника, а точка $A'$ пересечения этих прямых - в точку пересечения биссектрис серединного треугольника.
