ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-05-08   
В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$.
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^{\circ}$, а основания равны 5 и 7.


Решение:


а) Известно, что $\angle COD=\angle AOB=90^{\circ}$ (см. задачу 4107). Значит,

$\angle AOD+\angle BOC=360^{\circ}-\angle AOD-\angle BOC=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}.$

Следовательно,

$\sin\angle AOD=\sin(180^{\circ}-\angle BOC)=\sin\angle BOC.$


б) Пусть окружность радиуса $R$, вписанная в прямоугольную трапецию $ABCD$, касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно, большей боковой стороны $CD$ - в точке $K$, а меньшей боковой стороны $AB$ - в точке $L$. Тогда $OMBL$ и $ONAL$ - квадраты со стороной $R$. Значит,

$BM=AN=R,~CK=CM=BC-BM=5-R,$

$DK=DN=AD-AN=7-R.$

Радиус $OK$ - высота прямоугольного треугольника $COD$, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 6185)

$OK^{2}=CK\cdot DK,~\mbox{или}~R^{2}=(5-R)(7-R),$

откуда находим, что $R=\frac{35}{12}$.
Боковая сторона $AB=2R=\frac{35}{6}$ - высота трапеции, следовательно,

$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AB=\frac{5+7}{2}\cdot\frac{35}{6}=35.$