Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12982
2023-05-08 
Пусть $a$, $b$, $c$ - длины сторон произвольного треугольника; $p$ - полупериметр; $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
$\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geq6r.$
Решение:
Пусть $S$ - площадь треугольника, $R$ - радиус описанной окружности. Применив неравенство Коши, получаем, что
$\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geq3\sqrt[{3}]{{\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}\cdot\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}\cdot\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc\cdot S}{p^{2}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc}{4S}\cdot\frac{4S^{2}}{p^{2}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc}{4S}\cdot4\left(\frac{S}{p}\right)^{2}}}=3\sqrt[{3}]{{4Rr^{2}}}\geq3\sqrt[{3}]{{8r\cdot r^{2}}}=6r$
(см. задачи 6187, 7423, 4244 и 6957).
Пусть $a$, $b$, $c$ - длины сторон произвольного треугольника; $p$ - полупериметр; $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
$\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geq6r.$
Решение:
Пусть $S$ - площадь треугольника, $R$ - радиус описанной окружности. Применив неравенство Коши, получаем, что
$\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geq3\sqrt[{3}]{{\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}\cdot\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}\cdot\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc\cdot S}{p^{2}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc}{4S}\cdot\frac{4S^{2}}{p^{2}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc}{4S}\cdot4\left(\frac{S}{p}\right)^{2}}}=3\sqrt[{3}]{{4Rr^{2}}}\geq3\sqrt[{3}]{{8r\cdot r^{2}}}=6r$
(см. задачи 6187, 7423, 4244 и 6957).
