Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12980
2023-05-08 
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB=a$, $AD=b$. Первая окружность имеет центр в вершине $A$ и проходит через вершину $D$, вторая имеет центр в вершине $C$ и проходит через вершину $D$. Произвольная окружность с центром $B$ пересекает первую окружность в точках $M_{1}$ и $N_{1}$, а вторую - в точках $M_{2}$ и $N_{2}$. Чему равно отношение $M_{1}N_{1}:M_{2}N_{2}$?
Решение:
Точки $M_{1}$ и $N_{1}$ симметричны относительно прямой $AB$ (см. задачу 4796), поэтому отрезок $M_{1}N_{1}$ равен удвоенному расстоянию от точки $M_{1}$ до прямой AB. Аналогично, отрезок $M_{2}N_{2}$ равен удвоенному расстоянию от $M_{2}$ до прямой $BC$. Кроме того,
$CM_{2}=CD=AB,~AM_{1}=AD=BC,~BM_{1}=BM_{2},$
и значит, треугольники $ABM_{1}$ и $CM_{2}B$ равны по трём сторонам. Следовательно, искомое отношение, равное отношению высот этих треугольников, обратно отношению соответствующих сторон, т.е. равно $\frac{b}{a}$.
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB=a$, $AD=b$. Первая окружность имеет центр в вершине $A$ и проходит через вершину $D$, вторая имеет центр в вершине $C$ и проходит через вершину $D$. Произвольная окружность с центром $B$ пересекает первую окружность в точках $M_{1}$ и $N_{1}$, а вторую - в точках $M_{2}$ и $N_{2}$. Чему равно отношение $M_{1}N_{1}:M_{2}N_{2}$?
Решение:
Точки $M_{1}$ и $N_{1}$ симметричны относительно прямой $AB$ (см. задачу 4796), поэтому отрезок $M_{1}N_{1}$ равен удвоенному расстоянию от точки $M_{1}$ до прямой AB. Аналогично, отрезок $M_{2}N_{2}$ равен удвоенному расстоянию от $M_{2}$ до прямой $BC$. Кроме того,
$CM_{2}=CD=AB,~AM_{1}=AD=BC,~BM_{1}=BM_{2},$
и значит, треугольники $ABM_{1}$ и $CM_{2}B$ равны по трём сторонам. Следовательно, искомое отношение, равное отношению высот этих треугольников, обратно отношению соответствующих сторон, т.е. равно $\frac{b}{a}$.
