Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12972
2023-05-08 
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ABC$ и $ACD$.
Решение:
Пусть $r$, $r_{1}$, $r_{2}$ - радиусы вписанных окружностей четырёхугольника $ABCD$ и треугольников $ABC$ и $ACD$ соответственно; $p$, $p_{1}$, $p_{2}$ - их полупериметры. Тогда $p\gt p_{1}$, $p\gt p_{2}$, поэтому (см. задачи 4244 и 4314)
$pr=S_{ABCD}=S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ACD}=p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}\lt p(r_{1}+r_{2}).$
Следовательно, $r\lt r_{1}+r_{2}$.
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ABC$ и $ACD$.
Решение:
Пусть $r$, $r_{1}$, $r_{2}$ - радиусы вписанных окружностей четырёхугольника $ABCD$ и треугольников $ABC$ и $ACD$ соответственно; $p$, $p_{1}$, $p_{2}$ - их полупериметры. Тогда $p\gt p_{1}$, $p\gt p_{2}$, поэтому (см. задачи 4244 и 4314)
$pr=S_{ABCD}=S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ACD}=p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}\lt p(r_{1}+r_{2}).$
Следовательно, $r\lt r_{1}+r_{2}$.
