Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12981
2023-05-08 
Пусть $A_{1}A_{2}\ldots A_{2n+1}$ - правильный многоугольник с нечётным числом сторон, $M$ - произвольная точка на дуге $A_{1}A_{2n+1}$ окружности $S$, описанной около многоугольника, $l_{i}$ - длина касательной, проведённой из точки $M$ к окружности радиуса $r$, касающейся $S$ в точке $A_{i}$, причём все касания одновременно внешние или внутренние. Докажите, что сумма $l_{i}$ с нечётными номерами равна сумме $l_{i}$ с чётными номерами.
Решение:
Рассмотрим правильный пятиугольник $A_{1}A_{2}\dots A_{2n+1}$. Пусть точка $M$ принадлежит дуге $A_{1}A_{2n+1}$ его описанной окружности $S$. Обозначим
$MA_{1}=d_{1},~MA_{2}=d_{2},\dots,~MA_{2n+1}=d_{2n+1}.$
Тогда
$d_{1}+d_{3}+\dots+d_{2n+1}=d_{2}+d_{4}+\dots+d_{2n}$
(см. задачу 4797).
Пусть все окружности радиуса $r$, о которых говорится в условии, касаются окружности $S$ радиуса $R$ внешним образом. Тогда $l_{i}=d_{i}\sqrt{1+\frac{r}{R}}$ (см. задачу 7902). Следовательно,
$l_{1}+l_{3}+\dots+l_{2n+1}=d_{1}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+d_{3}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+\dots+d_{2n+1}\sqrt{1+\frac{r}{R}}=\sqrt{1+\frac{r}{R}}(d_{1}+d_{3}+\dots+d_{2n+1})=\sqrt{1+\frac{r}{R}}(d_{2}+d_{4}+\dots+d_{2n})=d_{2}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+d_{4}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+\dots+d_{2n}\sqrt{1+\frac{r}{R}}=l_{2}+l_{4}+\dots+l_{2n}.$
Если все окружности радиуса $r$, о которых говорится в условии, касаются окружности $S$ внутренним образом и $r\lt R$, то $l_{i}=d_{i}\sqrt{1-\frac{r}{R}}$ (см. задачу 7902). Остальное аналогично.
Пусть $A_{1}A_{2}\ldots A_{2n+1}$ - правильный многоугольник с нечётным числом сторон, $M$ - произвольная точка на дуге $A_{1}A_{2n+1}$ окружности $S$, описанной около многоугольника, $l_{i}$ - длина касательной, проведённой из точки $M$ к окружности радиуса $r$, касающейся $S$ в точке $A_{i}$, причём все касания одновременно внешние или внутренние. Докажите, что сумма $l_{i}$ с нечётными номерами равна сумме $l_{i}$ с чётными номерами.
Решение:
Рассмотрим правильный пятиугольник $A_{1}A_{2}\dots A_{2n+1}$. Пусть точка $M$ принадлежит дуге $A_{1}A_{2n+1}$ его описанной окружности $S$. Обозначим
$MA_{1}=d_{1},~MA_{2}=d_{2},\dots,~MA_{2n+1}=d_{2n+1}.$
Тогда
$d_{1}+d_{3}+\dots+d_{2n+1}=d_{2}+d_{4}+\dots+d_{2n}$
(см. задачу 4797).
Пусть все окружности радиуса $r$, о которых говорится в условии, касаются окружности $S$ радиуса $R$ внешним образом. Тогда $l_{i}=d_{i}\sqrt{1+\frac{r}{R}}$ (см. задачу 7902). Следовательно,
$l_{1}+l_{3}+\dots+l_{2n+1}=d_{1}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+d_{3}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+\dots+d_{2n+1}\sqrt{1+\frac{r}{R}}=\sqrt{1+\frac{r}{R}}(d_{1}+d_{3}+\dots+d_{2n+1})=\sqrt{1+\frac{r}{R}}(d_{2}+d_{4}+\dots+d_{2n})=d_{2}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+d_{4}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+\dots+d_{2n}\sqrt{1+\frac{r}{R}}=l_{2}+l_{4}+\dots+l_{2n}.$
Если все окружности радиуса $r$, о которых говорится в условии, касаются окружности $S$ внутренним образом и $r\lt R$, то $l_{i}=d_{i}\sqrt{1-\frac{r}{R}}$ (см. задачу 7902). Остальное аналогично.
