Для заданного простого числа $p$ найти количество различных последовательностей натуральных чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots$, удовлетворяющих равенствам
$\frac{a_{0}}{a_{1}} + \frac{a_{0}}{a_{2}} + \cdots + \frac{a_{0}}{a_{n}} + \frac{p}{a_{n+1}} = 1$ при $n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Доказать, что для последовательности чисел (Фибоначчи) $a_{1}, a_{2}, \cdots$, заданной соотношениями
$a_{1} = a_{2} = 1, a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$ при $n \in \mathbf{N}$,
существует единственная тройка чисел $a, b, c \in \mathbf{N}$, удовлетворяющая условиям: $b < a, c < a$ и дли любого значения $n \in \mathbf{N}$ число $a_{n} – nbc^{2}$ делится на $a$.
Подробнее
Найти все пары $(x; y)$ положительных чисел, на которых достигается наименьшее значение функции
$f(x, y) = \frac{x^{4}}{y^{4}} + \frac{y^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
и найти это наименьшее значение.
Подробнее
Найти наибольшее значение произведения $x^{2}y^{2}z^{2}u$ при условии, что $x, y, z, u > 0$ и
$2x + xy + z + yzu = 1$.
Подробнее
Для заданных чисел $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$ определить, существуют ли точки $x \in \mathbf{R}$, в которых функция
$f(x) = \sum_{i=1}^{n} |x – a_{i}|$
принимает наименьшее значение. Если существуют, то найти все такие точки, а также наименьшее значение функции $f(x)$.
Подробнее
Для заданною числа $n \geq 2$ найти наибольшее и наименьшее значения произведения
$x_{1}x_{2} \cdots x_{n}$
при условии, что $x_{i} \geq 1/n (i = 1,2, \cdots n)$ и $x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + \cdots + x^{2}_{n} = 1$.
Подробнее
Для заданных чисел $n \geq 2$ и $a > 0$ найти наибольшее значение суммы $\sum_{i=1}^{n-1} x_{i}x_{i+1}$ при условии, что $x_{i} \geq 0 (i = 1, \cdots, n)$ и $x_{1} + \cdots + x_{n} = a$.
Подробнее
Даны положительные числа $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$. Для какой перестановки $(b_{1}; b_{2}; \cdots; b_{n})$ этих чисел произведение
$\prod_{i=1}^{n} (a_{i} + 1/b_{i})$
максимально?
Подробнее
Для каждого значения $k \in \mathbf{N}$ представить число $2k$ в виде суммы двух взаимно простых чисел $x$ и $y$ так, чтобы произведение $xy$ было наибольшим.
Подробнее
Для заданных чисел $n \in \mathbf{N}$ и $a \in [0; n]$ найти наибольшее значение выражения $\left | \sum_{i=1}^{n} \sin 2x_{i} \right |$ при условии, что
$\sum_{i=1}^{n} \sin^{2} x_{i} = a$.
Подробнее
Для каждого числа $n \in \mathbf{N}$ найти наибольшее значение, которое принимает произведение натуральных чисел с фиксированной суммой $n$.
Подробнее
Найти наименьшее значение величины $| 12^{m} – 5^{n} |$ при $m,n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Даны два положительных числа $x_{1}, x_{2}$, а про функцию $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, заданную формулой
$f(x) = ax^{4} + bx^{3} + c$ (где $a, b, c \in \mathbf{R}, a \neq 0$),
известно, что $f(0) = f(x_{1}) = 1$ и $f^{\prime}(x_{2}) = 0$. Найти коэффициенты $a, b, c$.
Подробнее
Существует ли функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая для всех $x \in \mathbf{R}$ неравенству
$f(x^{2}) – (f(x))^{2} \geq 1/4$
и не принимающая никакое значение более чем в одной точке?
Подробнее
Доказать, что если функция $f_{1} \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет для всех $x, y \in \mathbf{R}$ неравенствам
$f(x) \leq x, f(x + y) \leq f(x) + f(y)$,
то справедливо тождество
$f(x) = x, x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
