Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 373
2014-06-07 
Для каждого числа $n \in \mathbf{N}$ найти наибольшее значение, которое принимает произведение натуральных чисел с фиксированной суммой $n$.
Решение:
Заметим, что любое фиксированное число $n \in \mathbf{N}$ можно расположить в сумму натуральных чисел лишь конечным числом способов. Поэтому среди этих представлений найдется такое (быть может, не единственное) разложение $n = m_{1} +m_{2} + \cdots + m_{k}$, где $m_{1} \leq m_{2} \leq \cdots \leq m_{k}$, для которого произведение $m_{1}m_{2} \cdots m_{k}$ принимает наибольшее значение $f(n)$, причем ни одно из чисел $m_{i} (i = 1, 2, \cdots, k)$ не равно 4 (любую четверку с самого начала можно заменить двумя двойками, после чего ни сумма, ни произведение чисел не изменится). Тогда каждое из чисел $m_{i}$ не превосходит 4, так как если $m_{k} > 4$, то произведение чисел $m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{k-2},2$ будет больше прежнего (ибо $(m_{k} - 2)2 > m_{k}$), в то время как их сумма по-прежнему равна $n$.При $n = 1$ имеем единственное разложение, поэтому $g(1) = 1$. Далее, при $n > 1$ ни одно из чисел $m_{i}$ не равно 1, так как если $m_{1} = 1$, то произведение чисел $m_{1} + m_{2}, m_{3}, \cdots, m_{k}$ будет больше прежнего (ибо $m_{1} + m_{2} > m_{1}m_{2}$), а сумма равна $n$. Наконец, среди чисел $m_{i}$ не может быть трех (и более) двоек, так как если $m_{1} = m_{2} = m_{3} = 2$, то произведение чисел $3, 3, m_{4}, \cdots, m_{k}$ будет больше прежнего (ибо $3^{2} > 2^{3}$) при той же сумме. Таким образом, если $n > 1$, то каждое из чисел $m_{i}$ равно 3, кроме, быть может, одного или двух чисел, равных 2. Этими условиями набор чисел $m_{i}$ определяется однозначно для каждого значения $n > 1$. Поэтому для искомой величины $f(n)$ имеем
$f(1) = 1, f(3l) = 3^{l}, f(3l - 1) = 2 \cdot 3^{l-1}$
и
$f(3l + 1) = 4 \cdot 3^{l-1}$ при $l \in \mathbf{N}$.
Для каждого числа $n \in \mathbf{N}$ найти наибольшее значение, которое принимает произведение натуральных чисел с фиксированной суммой $n$.
Решение:
Заметим, что любое фиксированное число $n \in \mathbf{N}$ можно расположить в сумму натуральных чисел лишь конечным числом способов. Поэтому среди этих представлений найдется такое (быть может, не единственное) разложение $n = m_{1} +m_{2} + \cdots + m_{k}$, где $m_{1} \leq m_{2} \leq \cdots \leq m_{k}$, для которого произведение $m_{1}m_{2} \cdots m_{k}$ принимает наибольшее значение $f(n)$, причем ни одно из чисел $m_{i} (i = 1, 2, \cdots, k)$ не равно 4 (любую четверку с самого начала можно заменить двумя двойками, после чего ни сумма, ни произведение чисел не изменится). Тогда каждое из чисел $m_{i}$ не превосходит 4, так как если $m_{k} > 4$, то произведение чисел $m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{k-2},2$ будет больше прежнего (ибо $(m_{k} - 2)2 > m_{k}$), в то время как их сумма по-прежнему равна $n$.При $n = 1$ имеем единственное разложение, поэтому $g(1) = 1$. Далее, при $n > 1$ ни одно из чисел $m_{i}$ не равно 1, так как если $m_{1} = 1$, то произведение чисел $m_{1} + m_{2}, m_{3}, \cdots, m_{k}$ будет больше прежнего (ибо $m_{1} + m_{2} > m_{1}m_{2}$), а сумма равна $n$. Наконец, среди чисел $m_{i}$ не может быть трех (и более) двоек, так как если $m_{1} = m_{2} = m_{3} = 2$, то произведение чисел $3, 3, m_{4}, \cdots, m_{k}$ будет больше прежнего (ибо $3^{2} > 2^{3}$) при той же сумме. Таким образом, если $n > 1$, то каждое из чисел $m_{i}$ равно 3, кроме, быть может, одного или двух чисел, равных 2. Этими условиями набор чисел $m_{i}$ определяется однозначно для каждого значения $n > 1$. Поэтому для искомой величины $f(n)$ имеем
$f(1) = 1, f(3l) = 3^{l}, f(3l - 1) = 2 \cdot 3^{l-1}$
и
$f(3l + 1) = 4 \cdot 3^{l-1}$ при $l \in \mathbf{N}$.
