ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Для заданною числа $n \geq 2$ найти наибольшее и наименьшее значения произведения
$x_{1}x_{2} \cdots x_{n}$
при условии, что $x_{i} \geq 1/n (i = 1,2, \cdots n)$ и $x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + \cdots + x^{2}_{n} = 1$.


Решение:


а) Найдем наименьшее значение произведения $x_{1}x_{2} \cdots x_{n}$. Пусть произвольный набор $(x_{1}; \cdots ; x_{n})$ удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим новый набор
$( x_{1}^{(1)}; x_{2}^{(1)}; \cdot ; x_{n}^{(1)})$
где
$x_{1}^{(1)} = x_{1}, x_{2}^{(1)} = x_{2}, \cdots, x_{n-2}^{(1)} = x_{n-2}$,
$ x_{n-1}^{(1)} = \sqrt{x{2}_{n-1} + x^{2}_{n} – 1/n^{2}}, x_{n}^{(1)} = 1/n$
Этот набор удовлетворяет соотношениям
$x_{i}^{(1)} \geq 1/n (i = 1, \cdots, n), \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{(1)})^{2} = 1$.
Докажем, что
$x_{1}x_{2} \cdots x_{n} \geq x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)} \cdots x_{n}^{(1)}$.
Действительно, имеем
$x^{2}_{n-1} x^{2}_{n} – (x_{n - 1}^{(1)} x_{n}^{(1)})^{2} = x^{2}_{n-1} x^{n} - \left ( x^{2}_{n-1} + x^{2}_{n} - \frac{1}{n^{2}} \right ) \frac{1}{n^{2}} = $
$\left ( x^{2}_{n-1} - \frac{1}{n^{2}} \right ) \left (x^{2}_{n} - \frac{1}{n^{2}} \right ) \geq 0$.
Далее, положим
$x_{1}^{(2)} = x_{1}^{(1)}, \cdots, x_{n - 3}^{(2)} = x_{n - 3}^{(1)}$,
$x_{n - 2}^{(1)} = \sqrt{( x_{n - 2}^{(1)})^{2} + (x_{n - 1}^{(1)})^{2} – 1/n^{2}}, x_{n - 1}^{(2)} = x_{n}^{(2)} = 1/n$
и аналогично получим, что
$ x_{i}^{(2)} \geq 1/n, \sum^{n}_{i=1} (x_{i}^{(2)})^{2} = 1$
и
$ x_{1}^{(1)} x_{2}^{(1)} \cdots x_{n }^{(1)} \geq x_{1}^{(2)} x_{2}^{(2)} \cdots x_{n}^{(2)}$.
Повторив эту процедуру $(n - 1)$ раз, мы в итоге получим набор
$(x_{1}^{(n-1)}; x_{2}^{(n-1)}; \cdots; x_{n}^{(n-1)})$,
где
$x_{1}^{(n - 1)} = \sqrt{n^{2} – n +1} / n, x_{2}^{(n-1)} = \cdots = x_{n}^{(n-1)} = 1/n$,
причем
$x_{i}^{(n-1)} \geq 1/n, \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{(n-1)})^{2} = 1$
и
$x_{1}x_{2} \cdots x_{n} \geq x_{1}^{(n - 1)} x_{2}^{(n - 1)} \cdots x_{n}^{(n - 1)} = \sqrt{n^{2} – n + 1} / n^{n}$
Значит, для любого набора $(x_{1}; \cdots; x_{n})$, удовлстворяющего условию задачи, справедливо неравенство
$x_{1}x_{2} \cdots x_{n} \geq \sqrt{n^{2} – n +1} / n^{n}$,
а при
$x_{1} = \sqrt{n^{2} – n + 1} / n, x_{2}= \cdots = x_{n} = 1/n$
достигается равенство. Итак, наименьшее значение равно
$\sqrt{n^{2} – n + 1} / n^{n}$.
б) Найдем наибольшее значение произведения $x_{1}x_{2} \cdots x_{n}$. Применяя теорему о средних, получаем
$x_{1}^{2} \cdots x_{n}^{2} \leq ((x_{1}^{2} + \cdots + x^{2}_{n})/n)^{n} = 1/n^{n}$,
т.е.
$x_{1}x_{2} \cdots x_{n} \leq n^{-n/2}$.
Равенство достигается при $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n}= 1/ \sqrt{n}$. Итак, наибольшее значение равно $n^{-n/2}$.