Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 376
2014-06-07 
Существует ли функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая для всех $x \in \mathbf{R}$ неравенству
$f(x^{2}) – (f(x))^{2} \geq 1/4$
и не принимающая никакое значение более чем в одной точке?
Решение:
Докажем, что такой функции не существует. Действительно, в противном случае имеем: $f(0) – 1/2)^{2} \leq 0$, откуда $f(0) = 1/2$. Аналогично получаем, что $f(1) = 1/2$, т. е. $f(0) = f(1)$, что невозможно.
Существует ли функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая для всех $x \in \mathbf{R}$ неравенству
$f(x^{2}) – (f(x))^{2} \geq 1/4$
и не принимающая никакое значение более чем в одной точке?
Решение:
Докажем, что такой функции не существует. Действительно, в противном случае имеем: $f(0) – 1/2)^{2} \leq 0$, откуда $f(0) = 1/2$. Аналогично получаем, что $f(1) = 1/2$, т. е. $f(0) = f(1)$, что невозможно.
