ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Для заданных чисел $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$ определить, существуют ли точки $x \in \mathbf{R}$, в которых функция
$f(x) = \sum_{i=1}^{n} |x – a_{i}|$
принимает наименьшее значение. Если существуют, то найти все такие точки, а также наименьшее значение функции $f(x)$.


Решение:


Пусть сначала $n = 2k$, где $k \in \mathbf{N}$. По неравенству треугольника имеем
$ \begin{cases}
|x –a_{1}| + |x – a_{n}| \geq a_{n} – a_{1},& \\
|x –a_{2}| + |x – a_{n-1}| \geq a_{n-1} – a_{2},& \\
\cdots& \\
|x –a_{k-1}| + |x – a_{k+1}| \geq a_{k+1} – a_{k},&
\end{cases}$
откуда
$f(x) = \sum_{i=1}^{n} |x – a_{i}| \geq \sum_{j=1}^{k} (a_{n-j+1} – a_{j})$,
При этом, если $x \in [a_{k}; a_{k+1}]$, то
$f(x) = \sum_{j=1}^{k} (a_{n-j+1} – a_{j})$.
С другой стороны, если $x \not in [a_{k}; a_{k+1}]$, то
$| x –a_{k}| + | x – a_{k+1}| > a_{k+1} – a_{k}$
и
$f(x) > \sum_{j=1}^{k} (a_{n-j +1} – a_{j})$.
Итак, функция $f(x)$ принимает наименьшее значение, равное
$\sum_{j=1}^{k} (a_{n-j+1} – a_{j})$, при любом $x \in [a_{k}; a_{k+1}]$.
Пусть теперь $n = 2k – 1$, где $k \in \mathbf{N}$. Имеем
$ \begin{cases}
|x –a_{1}| + |x – a_{n}| \geq a_{n} – a_{1},& \\
|x –a_{2}| + |x – a_{n-1}| \geq a_{n-1} – a_{2},& \\
\cdots& \\
|x –a_{k-1}| + |x – a_{k+1}| \geq a_{k+1} – a_{k},&\\
|x –a_{k}| \geq 0.&
\end{cases}$
откуда
$f(x) = \sum_{j=1}^{n} |x – a_{i}| \geq \sum_{j=1}^{k-1}(a_{n-j+1} – a_{j})$.
При этом, если $x = a_{k}$, то
$f(x) = \sum_{j=1}^{k-1}(a_{n-j+1} – a_{j})$.
При этом, если $x = a_{k}$, то
$f(x) = \sum_{j=1}^{k-1} (a_{n-j+1} – a_{j})$.
Если же $x \neq a_{k}$, то
$f(x) \geq \sum_{j=1}^{k-1} (a_{n-j+1} – a_{j}) + |x –a_{k}| > \sum_{j=1}^{k-1} (a_{n-j+1} – a_{j})$.
Итак, функции $f(x)$ принимает наименьшее значение, равное
$ \sum_{j=1}^{k-1} (a_{n-j+1} – a_{j})$, при $x = a_{k}$