ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Для каждого значения $k \in \mathbf{N}$ представить число $2k$ в виде суммы двух взаимно простых чисел $x$ и $y$ так, чтобы произведение $xy$ было наибольшим.


Решение:


Без ограничения общности можно считать, что $x \geq y$. Обозначим $p = x – k$. Тогда $x = k + p, y = 2k – x = k – p, p \geq 0$, и произведение
$xy = (k + p)(k - p) = k^{2} – p^{2}$
принимает наибольшее значение при наименьшем возможном значении $p$. Пусть $p = 0$, тогда $x = y = k$ и числа $x, y$ являются взаимно простыми лишь при $k=1$. Пусть $p = 1$, тогда $x = k + 1, y= k – 1$. Для того чтобы числа $x, y$ были взаимно простыми, необходимо, чтобы число $k$ было четным (в противном случае оба числа $x$ и $y$ делились бы на 2). Но это же условие является и достаточным, поскольку общими делителями чисел $x$ и $y$ могут быть только делители их разности $x – y = = ( k + 1) - (k - 1) = 2$ (т. е. числа 1 или 2), а при четном значении $k$ число 2 не является делителем, например числа $x = k + 1$. Пусть $p = 2$, тогда числа $x = k + 2, y = k – 2$ при нечетной значении $k$ являются взаимно простыми, так как в этом случае числа $x, y$ нечетны и не могут иметь общих делителей, отличных от делителей их разности $x –y = (k + 2 ) - (k - 2) = 4$. Итак, искомые числа $x, y$ определяются следующим образом:
если $k = 1$, то $x = 1, y = 1$;
если $k = 2m, m \in \mathbf{N}$, то $x = k \pm 1, y = k \mp 1$;
если $k = 2m + 1, m \in \mathbf{N}$, то $x = k \pm 2, y = k \mp 2$.