Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 372
2014-06-07 
Для заданных чисел $n \in \mathbf{N}$ и $a \in [0; n]$ найти наибольшее значение выражения $\left | \sum_{i=1}^{n} \sin 2x_{i} \right |$ при условии, что
$\sum_{i=1}^{n} \sin^{2} x_{i} = a$.
Решение:
Имеем
$a = \sum^{n}_{i=1} \sin^{2}x_{i} = \sum^{n}_{i=1} (1 - \cos 2x_{i}) /2$,
т.е.
$\sum^{n}_{i=1} \cos 2x_{i} = n – 2a$.
Далее, рассмотрим на плоскости векторы
$( \cos 2x_{i}; \sin 2x_{i})$
единичной длины. Их сумма имеет длину ие больше $n$, а значит, выполнено неравенство
$\left | \sum_{i=1}^{n} \sin 2 x_{i} \right | \leq \sqrt{n^{2} - \left ( \sum_{i=1}^{n} \cos 2x_{i} \right )^{2}} = \sqrt{n^{2} – (n-2a)^{2}} = 2 \sqrt{a(n-a)}$,
в котором при
$x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = arcsin \: \sqrt{a/n}$
достигается равенство. Итак, наибольшее значение равно $2 \sqrt{a(n-1)}$.
Для заданных чисел $n \in \mathbf{N}$ и $a \in [0; n]$ найти наибольшее значение выражения $\left | \sum_{i=1}^{n} \sin 2x_{i} \right |$ при условии, что
$\sum_{i=1}^{n} \sin^{2} x_{i} = a$.
Решение:
Имеем
$a = \sum^{n}_{i=1} \sin^{2}x_{i} = \sum^{n}_{i=1} (1 - \cos 2x_{i}) /2$,
т.е.
$\sum^{n}_{i=1} \cos 2x_{i} = n – 2a$.
Далее, рассмотрим на плоскости векторы
$( \cos 2x_{i}; \sin 2x_{i})$
единичной длины. Их сумма имеет длину ие больше $n$, а значит, выполнено неравенство
$\left | \sum_{i=1}^{n} \sin 2 x_{i} \right | \leq \sqrt{n^{2} - \left ( \sum_{i=1}^{n} \cos 2x_{i} \right )^{2}} = \sqrt{n^{2} – (n-2a)^{2}} = 2 \sqrt{a(n-a)}$,
в котором при
$x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = arcsin \: \sqrt{a/n}$
достигается равенство. Итак, наибольшее значение равно $2 \sqrt{a(n-1)}$.
