Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 363
2014-06-07 
Для заданного простого числа $p$ найти количество различных последовательностей натуральных чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots$, удовлетворяющих равенствам
$\frac{a_{0}}{a_{1}} + \frac{a_{0}}{a_{2}} + \cdots + \frac{a_{0}}{a_{n}} + \frac{p}{a_{n+1}} = 1$ при $n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Обозначим
$S_{n} = \frac{a_{0}}{a_{1}} + \frac{a_{0}}{a_{2}} + \cdots + \frac{a_{0}}{a_{n}} + \frac{p}{a_{n+1}}$;
тогда последовательность $S_{1}, S_{2}, \cdots $ состоит из одинаковых чисел в том и только в том случае, если для каждого $n \in \mathbf{N}$ разность
$S_{n-1} – S_{n} = \frac{a_{0}}{a_{n+1}} + \frac{p}{a_{n+2}} - \frac{p}{a_{n+1}} = \frac{p}{a_{n+2}} - \frac{p – a_{0}}{a_{n+1}}$
равна нулю, т.е. $a_{n+2} = (p/(p – a_{0}))a_{n+1}$. Пусть последовательность $a_{0}, a_{1}, \cdots$ удовлетворяет условию задачи, тогда при всех значениях $n \geq 3$ выполнены равенства
$a_{n} = (p/(p – a_{0}))a_{n-1} = (p^{2}/(p – a_{0})^{2})a_{n-2} = \cdots = (p^{n-2}/(p – a_{0})^{n-2})a_{2}$.
Поскольку $a_{n} \in \mathbf{N}$, а числа $p$ и $p - a_{0}$ взаимно просты (и6о $0 < p – a_{0} < p$), то число $a_{2}$ делится на любую степень (с натуральным показателем) числа $p –a_{0}$, откуда $p – a_{0} = 1$. Поэтому имеем равенства
$a_{0} = p -1, \frac{p-1}{a_{1}} + \frac{p}{a_{2}} = 1, a_{n} = p^{n-2}a_{2} (a_{1},a_{2} \in \mathbf{N})$ при $n = 3, 4, \cdots$
Выполнение же указанных равенств гарантирует, что последовательность удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае имеем
$S_{1} =1, S_{n+1} = S_{n}$ при $n \in\mathbf{N}$.
Итак, задача свелась к нахождению по заданному простому числу $p$ количества решений уравнения
$\frac{p-1}{a_{1}} + \frac{p}{a_{2}} = 1$
в натуральных числах. Перепишем уравнение в виде
$pa_{1} = a_{2}(a_{1} – (p-1))$
и заметим, что левая часть этого уравнения делится на $p$. Поэтому уравнение может иметь решение только при выполнении одного из двух условий $a_{2} = kp$ или $a_{1} - (p - 1) = mp$, где $k, m \in \mathbf{N}$ (ибо $a_{2} > 0, a_{1} – (p -1) > 0$). При этом указанные два условия несовместны, так как если $a_{1} - (p - 1) = 0 (\mod p)$, то $a_{1} \equiv -1 (\mod p)$, левая часть уравнения не делится на $p^{2}$ и, стало быть, число $a_{2}$ не делится на $p$. Пусть $a_{2} = kp$, тогда исходное уравнение перепишем о виде
$a_{1} = k (a_{1} - (p-1))$, т. е. $p -1 = (k - 1)(a_{1} – p + 1)$.
Поэтому каждое решение в этой серии получается следующим образом: в качестве значения $a_{1} - p + 1$ нужно взять любой из делителей числа $p – 1$, а затем положить $a_{2} = kp$, где
$k = (p -1)/(a_{1} – p + 1) + 1$.
Пусть теперь $a_{1} – (p - 1) = mp$, тогда исходное уравнение имеет решение в том и только в том случае, если
$mp + p – 1 = a_{2}m$, т. е. $p - 1 = (a_{2} - p)m$.
В этой серии все решения получаются так: в качестве значения $m$ нужно взять любой из делителей числа $p -1$, а затем положить
$a_{2} = (p - 1)/m + p, a_{1} = mp+ p - 1$.
Ни одно из полученных решений не может принадлежать обеим сериям сразу, так как иначе оно удовлетворяло бы двум исключающим друг друга условиям. Поэтому количество решений уравнения, равное количеству искомых последовательностей, совпадает с удвоенным числом делителей числа $p - 1$.
Для заданного простого числа $p$ найти количество различных последовательностей натуральных чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots$, удовлетворяющих равенствам
$\frac{a_{0}}{a_{1}} + \frac{a_{0}}{a_{2}} + \cdots + \frac{a_{0}}{a_{n}} + \frac{p}{a_{n+1}} = 1$ при $n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Обозначим
$S_{n} = \frac{a_{0}}{a_{1}} + \frac{a_{0}}{a_{2}} + \cdots + \frac{a_{0}}{a_{n}} + \frac{p}{a_{n+1}}$;
тогда последовательность $S_{1}, S_{2}, \cdots $ состоит из одинаковых чисел в том и только в том случае, если для каждого $n \in \mathbf{N}$ разность
$S_{n-1} – S_{n} = \frac{a_{0}}{a_{n+1}} + \frac{p}{a_{n+2}} - \frac{p}{a_{n+1}} = \frac{p}{a_{n+2}} - \frac{p – a_{0}}{a_{n+1}}$
равна нулю, т.е. $a_{n+2} = (p/(p – a_{0}))a_{n+1}$. Пусть последовательность $a_{0}, a_{1}, \cdots$ удовлетворяет условию задачи, тогда при всех значениях $n \geq 3$ выполнены равенства
$a_{n} = (p/(p – a_{0}))a_{n-1} = (p^{2}/(p – a_{0})^{2})a_{n-2} = \cdots = (p^{n-2}/(p – a_{0})^{n-2})a_{2}$.
Поскольку $a_{n} \in \mathbf{N}$, а числа $p$ и $p - a_{0}$ взаимно просты (и6о $0 < p – a_{0} < p$), то число $a_{2}$ делится на любую степень (с натуральным показателем) числа $p –a_{0}$, откуда $p – a_{0} = 1$. Поэтому имеем равенства
$a_{0} = p -1, \frac{p-1}{a_{1}} + \frac{p}{a_{2}} = 1, a_{n} = p^{n-2}a_{2} (a_{1},a_{2} \in \mathbf{N})$ при $n = 3, 4, \cdots$
Выполнение же указанных равенств гарантирует, что последовательность удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае имеем
$S_{1} =1, S_{n+1} = S_{n}$ при $n \in\mathbf{N}$.
Итак, задача свелась к нахождению по заданному простому числу $p$ количества решений уравнения
$\frac{p-1}{a_{1}} + \frac{p}{a_{2}} = 1$
в натуральных числах. Перепишем уравнение в виде
$pa_{1} = a_{2}(a_{1} – (p-1))$
и заметим, что левая часть этого уравнения делится на $p$. Поэтому уравнение может иметь решение только при выполнении одного из двух условий $a_{2} = kp$ или $a_{1} - (p - 1) = mp$, где $k, m \in \mathbf{N}$ (ибо $a_{2} > 0, a_{1} – (p -1) > 0$). При этом указанные два условия несовместны, так как если $a_{1} - (p - 1) = 0 (\mod p)$, то $a_{1} \equiv -1 (\mod p)$, левая часть уравнения не делится на $p^{2}$ и, стало быть, число $a_{2}$ не делится на $p$. Пусть $a_{2} = kp$, тогда исходное уравнение перепишем о виде
$a_{1} = k (a_{1} - (p-1))$, т. е. $p -1 = (k - 1)(a_{1} – p + 1)$.
Поэтому каждое решение в этой серии получается следующим образом: в качестве значения $a_{1} - p + 1$ нужно взять любой из делителей числа $p – 1$, а затем положить $a_{2} = kp$, где
$k = (p -1)/(a_{1} – p + 1) + 1$.
Пусть теперь $a_{1} – (p - 1) = mp$, тогда исходное уравнение имеет решение в том и только в том случае, если
$mp + p – 1 = a_{2}m$, т. е. $p - 1 = (a_{2} - p)m$.
В этой серии все решения получаются так: в качестве значения $m$ нужно взять любой из делителей числа $p -1$, а затем положить
$a_{2} = (p - 1)/m + p, a_{1} = mp+ p - 1$.
Ни одно из полученных решений не может принадлежать обеим сериям сразу, так как иначе оно удовлетворяло бы двум исключающим друг друга условиям. Поэтому количество решений уравнения, равное количеству искомых последовательностей, совпадает с удвоенным числом делителей числа $p - 1$.
