Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 374
2014-06-07 
Найти наименьшее значение величины $| 12^{m} – 5^{n} |$ при $m,n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Докажем, что наименьшее по модулю значение величины
$f(m, n) = 12^{m} – 5^{n}$
при $m, n \in \mathbf{N}$ равно 7. Прежде всего, имеем равенство $f(1,1) = 7$. Далее, предположим, что для некоторых чисел $m, n \in \mathbf{N}$ выполнено неравенство
$|f(m, n)| < 7$.
Поскольку число $f( m, n)$ не делится ни иа одно из чисел 2, 3, 5, то $|f(m,n)| = 1$. Следовательно, остаток от деления числа $f(m, n)$ на 13 равен либо 1, либо 12. Так как
$12^{m} \equiv (-1)^{m}( \mod 13)$,
то остаток от деления числа $12^{m}$ на 13 равен 1 при четном $m$ и 12 при нечетном $m$. Пусть $n 4k + r$, где $k \in \mathbf{Z}^{+}, r \in \{0; 1; 2; 3 \}$. Тогда
$5^{n} = 625^{k} \cdot 5^{r} \equiv 1^{k} \cdot 5^{r} (\mod 13)$,
откуда следует, что остаток or деления числа $5^{n}$ на 13 равен 1, 5, 12 или 8, если число $r$ равно 0, 1, 2 или 3 соответственно. Таким образом, остаток от деления числа $12^{m} – 5^{n}$ на 13 не может равняться ни 1, ни 12, а значит, неравенство $| f(m, n)| < 7$ не выполняется ни при каких значениях $m, n \in \mathbf{N}$.
Найти наименьшее значение величины $| 12^{m} – 5^{n} |$ при $m,n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Докажем, что наименьшее по модулю значение величины
$f(m, n) = 12^{m} – 5^{n}$
при $m, n \in \mathbf{N}$ равно 7. Прежде всего, имеем равенство $f(1,1) = 7$. Далее, предположим, что для некоторых чисел $m, n \in \mathbf{N}$ выполнено неравенство
$|f(m, n)| < 7$.
Поскольку число $f( m, n)$ не делится ни иа одно из чисел 2, 3, 5, то $|f(m,n)| = 1$. Следовательно, остаток от деления числа $f(m, n)$ на 13 равен либо 1, либо 12. Так как
$12^{m} \equiv (-1)^{m}( \mod 13)$,
то остаток от деления числа $12^{m}$ на 13 равен 1 при четном $m$ и 12 при нечетном $m$. Пусть $n 4k + r$, где $k \in \mathbf{Z}^{+}, r \in \{0; 1; 2; 3 \}$. Тогда
$5^{n} = 625^{k} \cdot 5^{r} \equiv 1^{k} \cdot 5^{r} (\mod 13)$,
откуда следует, что остаток or деления числа $5^{n}$ на 13 равен 1, 5, 12 или 8, если число $r$ равно 0, 1, 2 или 3 соответственно. Таким образом, остаток от деления числа $12^{m} – 5^{n}$ на 13 не может равняться ни 1, ни 12, а значит, неравенство $| f(m, n)| < 7$ не выполняется ни при каких значениях $m, n \in \mathbf{N}$.
