Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 375
2014-06-07 
Даны два положительных числа $x_{1}, x_{2}$, а про функцию $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, заданную формулой
$f(x) = ax^{4} + bx^{3} + c$ (где $a, b, c \in \mathbf{R}, a \neq 0$),
известно, что $f(0) = f(x_{1}) = 1$ и $f^{\prime}(x_{2}) = 0$. Найти коэффициенты $a, b, c$.
Решение:
Условия задачи выполнены тогда и только тогда, когда
$f(0) = c =1$
и справедливы равенства
$f(x_{1}) = ax^{4}_{1} + bx_{1}^{2} + 1 = 1$,
$f^{\prime}(x_{2}) = 4ax^{3}_{2} + 2bx_{2} = 0$,
из которых получаем
$b = - 2ax^{2}_{2}$ и $ax^{2}_{1} – 2ax_{2}^{2}x^{2}_{1} = ax_{1}^{2} (x^{2}_{1} – 2x^{2}_{2}) = 0$,
а значит, $x_{1} = x_{2} \sqrt{2}$ (так как числа $x_{1}, a$ отличны от нуля). Проверка показывает, что если $x_{1} = x_{2} \sqrt{2}$, то функция
$f(x) = ax^{4} – 2ax^{2}_{2}x^{2} + 1$
удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, если $x_{1} \neq x_{2} \sqrt{2}$, то указанной функции не существует, а если $x_{1} = x_{2} \sqrt{2}$, то тройка $(a; b; c)$ имеет вид $(a; -2ax^{2}_{2}; 1)$ (где $a$ - произвольное ненулевое число).
Даны два положительных числа $x_{1}, x_{2}$, а про функцию $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, заданную формулой
$f(x) = ax^{4} + bx^{3} + c$ (где $a, b, c \in \mathbf{R}, a \neq 0$),
известно, что $f(0) = f(x_{1}) = 1$ и $f^{\prime}(x_{2}) = 0$. Найти коэффициенты $a, b, c$.
Решение:
Условия задачи выполнены тогда и только тогда, когда
$f(0) = c =1$
и справедливы равенства
$f(x_{1}) = ax^{4}_{1} + bx_{1}^{2} + 1 = 1$,
$f^{\prime}(x_{2}) = 4ax^{3}_{2} + 2bx_{2} = 0$,
из которых получаем
$b = - 2ax^{2}_{2}$ и $ax^{2}_{1} – 2ax_{2}^{2}x^{2}_{1} = ax_{1}^{2} (x^{2}_{1} – 2x^{2}_{2}) = 0$,
а значит, $x_{1} = x_{2} \sqrt{2}$ (так как числа $x_{1}, a$ отличны от нуля). Проверка показывает, что если $x_{1} = x_{2} \sqrt{2}$, то функция
$f(x) = ax^{4} – 2ax^{2}_{2}x^{2} + 1$
удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, если $x_{1} \neq x_{2} \sqrt{2}$, то указанной функции не существует, а если $x_{1} = x_{2} \sqrt{2}$, то тройка $(a; b; c)$ имеет вид $(a; -2ax^{2}_{2}; 1)$ (где $a$ - произвольное ненулевое число).
