ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Даны положительные числа $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$. Для какой перестановки $(b_{1}; b_{2}; \cdots; b_{n})$ этих чисел произведение
$\prod_{i=1}^{n} (a_{i} + 1/b_{i})$
максимально?


Решение:


Обозначим $A = \prod_{i=1}^{n} a_{i}$. Для чисел $0 < a_{1} < \cdots < a_{n}$ имеем
$\prod_{i=1}^{n} (a_{i} + 1/b_{i}) = \prod_{i=1}^{n} ((a_{i}b_{i} + 1)/b_{i}) = (1/A) \prod_{i=1}^{n} (a_{i}b_{i} + 1) \leq (1/A) \prod_{i=1}^{n} (a_{i}^{2} + 1)$
(для доказательства последнего неравенства достаточно заметить, что
$(a_{i}b_{i} + 1)^{2} = a_{i}^{2}b^{2}_{i} + 2a_{i}b_{i} + 1 \leq a_{i}^{2}b_{i}^{2} + a_{i}^{2} + b^{2}_{i} + 1 = (a_{i}^{2} + 1)(b^{2}_{i} + 1)$,
откуда
$\prod_{i=1}^{n} (a_{i}b_{i} + 1)^{2} \leq \prod_{i=1}^{n} (a_{i^{2}} + 1) (b_{i}^{2} + 1) = \prod_{i=1}^{n} (a_{i}^{2} + 1)^{2}$).
Равенство достигается, причем только если $2a_{i}b_{i} = a_{i}^{2} + b_{i}^{2}$ для всех $i = 1, \cdots, n$. Таким образом, указанное в задаче произведение максимально только в случае
$(b_{1}; \cdots, b_{n}) = (a_{1}; \cdots; a_{n})$.