Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 365
2014-06-07 
Найти все пары $(x; y)$ положительных чисел, на которых достигается наименьшее значение функции
$f(x, y) = \frac{x^{4}}{y^{4}} + \frac{y^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
и найти это наименьшее значение.
Решение:
Наименьшее значение функции $f(x, a)$ при $x, y > 0$ равно 2 поскольку имеют место соотношения
$f(x,y) – 2 = \left ( \frac{x^{2}}{y^{2}} - 1 \right )^{2} + \left ( \frac{y^{2}}{x^{2}} - 1 \right )^{2} + \left ( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \right )^{2} \left ( \frac{x}{y} -2 + \frac{y}{x} \right ) \geq$
$\geq \frac{(x - y)^{2}}{xy} \geq 0$
а равенство $f(x, y) = 2$ достигается тогда и только тогда, когда $x = y$.
Найти все пары $(x; y)$ положительных чисел, на которых достигается наименьшее значение функции
$f(x, y) = \frac{x^{4}}{y^{4}} + \frac{y^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
и найти это наименьшее значение.
Решение:
Наименьшее значение функции $f(x, a)$ при $x, y > 0$ равно 2 поскольку имеют место соотношения
$f(x,y) – 2 = \left ( \frac{x^{2}}{y^{2}} - 1 \right )^{2} + \left ( \frac{y^{2}}{x^{2}} - 1 \right )^{2} + \left ( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \right )^{2} \left ( \frac{x}{y} -2 + \frac{y}{x} \right ) \geq$
$\geq \frac{(x - y)^{2}}{xy} \geq 0$
а равенство $f(x, y) = 2$ достигается тогда и только тогда, когда $x = y$.
