Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 377
2014-06-07 
Доказать, что если функция $f_{1} \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет для всех $x, y \in \mathbf{R}$ неравенствам
$f(x) \leq x, f(x + y) \leq f(x) + f(y)$,
то справедливо тождество
$f(x) = x, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Докажем требуемое тождество. Подставляя в неравенство
$f(x+y) \leq f(x) + f(y)$
значения $x = y =0$, получаем $f(0) \leq 2f(0)$, или $f(0) \geq 0$. Отсюда и из неравенства $f(0) \leq 0$ следует, что $f(0) = 0$. Далее, для любого $x \in \mathbf{R}$ имеем
$f(x) \geq f(x + (-x)) – f(-x) = - f(-x) \geq x$.
Отсюда и из неравенства $f(x) \leq x$ вытекает тождество $f(x) \equiv x, x \in \mathbf{R}$.
Доказать, что если функция $f_{1} \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет для всех $x, y \in \mathbf{R}$ неравенствам
$f(x) \leq x, f(x + y) \leq f(x) + f(y)$,
то справедливо тождество
$f(x) = x, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Докажем требуемое тождество. Подставляя в неравенство
$f(x+y) \leq f(x) + f(y)$
значения $x = y =0$, получаем $f(0) \leq 2f(0)$, или $f(0) \geq 0$. Отсюда и из неравенства $f(0) \leq 0$ следует, что $f(0) = 0$. Далее, для любого $x \in \mathbf{R}$ имеем
$f(x) \geq f(x + (-x)) – f(-x) = - f(-x) \geq x$.
Отсюда и из неравенства $f(x) \leq x$ вытекает тождество $f(x) \equiv x, x \in \mathbf{R}$.
