Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 369
2014-06-07 
Для заданных чисел $n \geq 2$ и $a > 0$ найти наибольшее значение суммы $\sum_{i=1}^{n-1} x_{i}x_{i+1}$ при условии, что $x_{i} \geq 0 (i = 1, \cdots, n)$ и $x_{1} + \cdots + x_{n} = a$.
Решение:
Пусть $max (x_{1}, \cdots, x_{n}) = x_{k}$. Тогда
$\sum_{i=1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} = \sum_{i=1}^{k-1} x_{i}x_{i+1} + \sum_{i=k}^{n-1} x_{i}x_{i+1} \leq$
$\leq x_{k} \sum_{i=1}^{k-1} x_{i} + x_{k} \sum_{i=k+1}^{n} x_{i} = x_{k}(a – x_{k}) \leq ((x_{k} + a – x_{k})/2)^{2} = a^{2}/4 $.
Равенство достигается, например, при $x_{1} = x_{2} = a/2, x_{3} = \cdots = x_{n} = 0$. Следовательно, наибольшее значение равно $a^{2}/4$.
Для заданных чисел $n \geq 2$ и $a > 0$ найти наибольшее значение суммы $\sum_{i=1}^{n-1} x_{i}x_{i+1}$ при условии, что $x_{i} \geq 0 (i = 1, \cdots, n)$ и $x_{1} + \cdots + x_{n} = a$.
Решение:
Пусть $max (x_{1}, \cdots, x_{n}) = x_{k}$. Тогда
$\sum_{i=1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} = \sum_{i=1}^{k-1} x_{i}x_{i+1} + \sum_{i=k}^{n-1} x_{i}x_{i+1} \leq$
$\leq x_{k} \sum_{i=1}^{k-1} x_{i} + x_{k} \sum_{i=k+1}^{n} x_{i} = x_{k}(a – x_{k}) \leq ((x_{k} + a – x_{k})/2)^{2} = a^{2}/4 $.
Равенство достигается, например, при $x_{1} = x_{2} = a/2, x_{3} = \cdots = x_{n} = 0$. Следовательно, наибольшее значение равно $a^{2}/4$.
