Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16356
2026-02-17 
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около окружности с центром $I$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $OI$, лежит внутри угла $ABI$. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённые в точках $B'$ и $I$, пересекаются на прямой $AC$
Решение:
Первый способ. Пусть прямая $BI$ вторично пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $S$, а лучи $SB'$ и $CA$ пересекаются в точке $T$ (рис.1). По теореме о трилистнике $SA=SC=SI$ (см. задачу 4503). Обозначим $\angle IB'B=\angle IBB'=\varphi$. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра (см. задачу 5281), поэтому точка $B'$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда
$\angle SAB'=\angle SBB'=\varphi.$
Угол $SAC$ - внешний для треугольника $SAT$, поэтому
$\angle ATS=\angle SAC-\angle ASB'=\angle SBC-\angle ABB'=\angle SBA-\angle ABB'=\angle SBB'=\varphi.$
Таким образом,
$\angle B'AS=\varphi=\angle ATS,$
значит, треугольники $SAB'$ и $STA$ подобны по двум углам, поэтому
$\frac{SB'}{SA}=\frac{SA}{ST}~\Rightarrow~SB'\cdot ST=SA^{2}=SI^{2}.$
Следовательно, прямая $SI$ касается окружности $\gamma$, описанной около треугольника $TIB'$ (см. задачу 7887). Тогда $\angle ITB'=\angle B'IS$ (см. задачу 8170), а т.к. $B'IS$ - внешний угол треугольника $IBB'$, то $\angle B'IS=2\varphi$. Значит,
$\angle ITA=\angle ITB'-\angle ATB'=2\varphi-\varphi=\varphi.$
Обозначим вторую точку пересечения окружности $\gamma$ с прямой $AC$ через $K$. Поскольку $TK$ - биссектриса вписанного угла $ITB'$, то
$\angle KIB'=\angle KB'I=\angle KTI=\varphi=\angle IB'B,$
$\angle IB'K=\angle KIB'=\varphi=\angle IBB'.$
Таким образом (см. задачу 3946), прямые $KI$ и $KB'$ касаются окружности, описанной около треугольника $BB'I$, а точка $K$ лежит на прямой $AC$ по построению.
Второй способ. Поскольку $OB=OB'$ из симметрии, точка $B'$ лежит на окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Пусть лучи $AI$ и $CI$ вторично пересекают окружность $\Omega$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно, а $K$ - точка пересечения касательных к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённых в точках $B'$ и $I$. Тогда $KI=KB'$.
Поскольку $IB'=IB$, то
$\angle IB'B=\angle IBB'=\angle KIB',$
поэтому $KI\parallel BB'$ и $KI\perp OI$.
Пусть $K'$ - точка, симметричная точке $K$ относительно прямой $OI$, а $K_{1}$ - точка пересечения прямых $KI$ и $AC$ (рис.2). Поскольку $KB'=KI$, из симметрии получаем, что $K'B=KI=K'I$. Кроме того, $C_{1}B=C_{1}I$ и $A_{1}B=A_{1}I$ по теореме о трилистнике (см. задачу 4503). Таким образом, точки $K'$, $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной прямой - серединном перпендикуляре к отрезку $BI$.
Пусть прямая $IK$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $P$ и $Q$. Поскольку $OI\perp PQ$, по теореме о бабочке для хорд $AA_{1}$ и $CC_{1}$, проходящих через середину $I$ хорды $PQ$ (см. задачу 3927), получаем, что $K'I=IK_{1}$, а т.к. из симметрии $K'I=IK$, то точки $K_{1}$ и $K$ совпадают. Отсюда следует утверждение задачи
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около окружности с центром $I$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $OI$, лежит внутри угла $ABI$. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённые в точках $B'$ и $I$, пересекаются на прямой $AC$
Решение:
Первый способ. Пусть прямая $BI$ вторично пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $S$, а лучи $SB'$ и $CA$ пересекаются в точке $T$ (рис.1). По теореме о трилистнике $SA=SC=SI$ (см. задачу 4503). Обозначим $\angle IB'B=\angle IBB'=\varphi$. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра (см. задачу 5281), поэтому точка $B'$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда
$\angle SAB'=\angle SBB'=\varphi.$
Угол $SAC$ - внешний для треугольника $SAT$, поэтому
$\angle ATS=\angle SAC-\angle ASB'=\angle SBC-\angle ABB'=\angle SBA-\angle ABB'=\angle SBB'=\varphi.$
Таким образом,
$\angle B'AS=\varphi=\angle ATS,$
значит, треугольники $SAB'$ и $STA$ подобны по двум углам, поэтому
$\frac{SB'}{SA}=\frac{SA}{ST}~\Rightarrow~SB'\cdot ST=SA^{2}=SI^{2}.$
Следовательно, прямая $SI$ касается окружности $\gamma$, описанной около треугольника $TIB'$ (см. задачу 7887). Тогда $\angle ITB'=\angle B'IS$ (см. задачу 8170), а т.к. $B'IS$ - внешний угол треугольника $IBB'$, то $\angle B'IS=2\varphi$. Значит,
$\angle ITA=\angle ITB'-\angle ATB'=2\varphi-\varphi=\varphi.$
Обозначим вторую точку пересечения окружности $\gamma$ с прямой $AC$ через $K$. Поскольку $TK$ - биссектриса вписанного угла $ITB'$, то
$\angle KIB'=\angle KB'I=\angle KTI=\varphi=\angle IB'B,$
$\angle IB'K=\angle KIB'=\varphi=\angle IBB'.$
Таким образом (см. задачу 3946), прямые $KI$ и $KB'$ касаются окружности, описанной около треугольника $BB'I$, а точка $K$ лежит на прямой $AC$ по построению.
Второй способ. Поскольку $OB=OB'$ из симметрии, точка $B'$ лежит на окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Пусть лучи $AI$ и $CI$ вторично пересекают окружность $\Omega$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно, а $K$ - точка пересечения касательных к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённых в точках $B'$ и $I$. Тогда $KI=KB'$.
Поскольку $IB'=IB$, то
$\angle IB'B=\angle IBB'=\angle KIB',$
поэтому $KI\parallel BB'$ и $KI\perp OI$.
Пусть $K'$ - точка, симметричная точке $K$ относительно прямой $OI$, а $K_{1}$ - точка пересечения прямых $KI$ и $AC$ (рис.2). Поскольку $KB'=KI$, из симметрии получаем, что $K'B=KI=K'I$. Кроме того, $C_{1}B=C_{1}I$ и $A_{1}B=A_{1}I$ по теореме о трилистнике (см. задачу 4503). Таким образом, точки $K'$, $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной прямой - серединном перпендикуляре к отрезку $BI$.
Пусть прямая $IK$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $P$ и $Q$. Поскольку $OI\perp PQ$, по теореме о бабочке для хорд $AA_{1}$ и $CC_{1}$, проходящих через середину $I$ хорды $PQ$ (см. задачу 3927), получаем, что $K'I=IK_{1}$, а т.к. из симметрии $K'I=IK$, то точки $K_{1}$ и $K$ совпадают. Отсюда следует утверждение задачи
