Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16353
2026-02-17 
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ и вторично пересекает сторону $AB$ и диагональ $BD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Касательная, проведённая к окружности $\omega$ в точке $C$, пересекает луч $AD$ в точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой
Решение:
Поскольку $BC\parallel AD$, а прямая $ZC$ касается окружности $\omega$, то
$\angle ADB=\angle YBC=\angle YCZ.$
Следовательно,
$\angle YDZ+\angle YCZ=180^{\circ},$
значит, четырёхугольник $CYDZ$ вписанный. Тогда
$\angle CYZ=\angle CDZ=\angle XBC=180^{\circ}-\angle CYX,$
где последние два равенства следуют из того, что трапеция $ABCD$ равнобокая, а четырёхугольник $XBCY$ вписан в окружность $\omega$. Таким образом,
$\angle CYZ+\angle CYX=180^{\circ}.$
Следовательно, точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ и вторично пересекает сторону $AB$ и диагональ $BD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Касательная, проведённая к окружности $\omega$ в точке $C$, пересекает луч $AD$ в точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой
Решение:
Поскольку $BC\parallel AD$, а прямая $ZC$ касается окружности $\omega$, то
$\angle ADB=\angle YBC=\angle YCZ.$
Следовательно,
$\angle YDZ+\angle YCZ=180^{\circ},$
значит, четырёхугольник $CYDZ$ вписанный. Тогда
$\angle CYZ=\angle CDZ=\angle XBC=180^{\circ}-\angle CYX,$
где последние два равенства следуют из того, что трапеция $ABCD$ равнобокая, а четырёхугольник $XBCY$ вписан в окружность $\omega$. Таким образом,
$\angle CYZ+\angle CYX=180^{\circ}.$
Следовательно, точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой
