ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ - центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ - биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$


Решение:


Пусть $D$ - точка, симметричная точке $H$ относительно $AC$. Точка $D$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ (см. задачу 7896), поэтому

$\angle ODB=\angle OBD=\angle HBA.$

Следовательно, $OD\parallel AB$, т.е. точка $K$ лежит на $OD$ и

$\angle HKA=\angle OKC=\angle BAC.$

С другой стороны (см. задачу 8110),

$\angle CBO=\angle HBA=90^{\circ}-\angle BAC,$

значит,

$\angle ABC=3\angle BAD=3(90^{\circ}-\angle BAC),$

$\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC=180^{\circ}-3(90^{\circ}-\angle BAC)-\angle BAC=2\angle BAC-90^{\circ},$

$\angle HAK=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-(2\angle BAC-90^{\circ})=180^{\circ}-2\angle BAC,$

поэтому

$\angle AHK=180^{\circ}-\angle HAK-\angle AKH=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\angle BAC)-\angle BAC=\angle BAC=\angle AKH.$

Следовательно, $AK=AH$