Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16350
2026-02-17 
Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^{\circ}$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник, $O$ - центр его описанной окружности, $D$, $E$, $F$ - середины его сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Треугольник $DEF$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и $OD\perp BC$, $OE\perp CA$, $OF\perp AB$.
Пусть при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $120^{\circ}$ точка $D$ переходит в $D'$. При таком повороте прямая $BC$ переходит в прямую, проходящую через точку $D'$ перпендикулярно $OD'$. Пусть эта прямая пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Прямоугольные треугольники $ODK$ и $OD'K$ равны (симметричны относительно прямой $OK$), и поэтому $\angle KOD=\frac{1}{2}\angle DOD'=60^{\circ}$. Тогда в прямоугольном треугольнике $KOD$ гипотенуза $OK$ вдвое больше катета $OD$. Это означает, что точка $K$ получается из $D$ в результате поворотной гомотетии: поворота с центром $O$ по часовой стрелке на угол $60^{\circ}$ и последующей гомотетии с центром $O$ и коэффициентом 2. Аналогичный результат получим для других точек $L$, $M$ пересечения одноцветных прямых. Таким образом, треугольник $KLM$ получается из треугольника $DEF$ поворотной гомотетией с центром $O$ и коэффициентом 2. Тогда треугольник $KLM$ подобен треугольнику $DEF$ с коэффициентом 2, и следовательно, равен треугольнику $ABC$
Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^{\circ}$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник, $O$ - центр его описанной окружности, $D$, $E$, $F$ - середины его сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Треугольник $DEF$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и $OD\perp BC$, $OE\perp CA$, $OF\perp AB$.
Пусть при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $120^{\circ}$ точка $D$ переходит в $D'$. При таком повороте прямая $BC$ переходит в прямую, проходящую через точку $D'$ перпендикулярно $OD'$. Пусть эта прямая пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Прямоугольные треугольники $ODK$ и $OD'K$ равны (симметричны относительно прямой $OK$), и поэтому $\angle KOD=\frac{1}{2}\angle DOD'=60^{\circ}$. Тогда в прямоугольном треугольнике $KOD$ гипотенуза $OK$ вдвое больше катета $OD$. Это означает, что точка $K$ получается из $D$ в результате поворотной гомотетии: поворота с центром $O$ по часовой стрелке на угол $60^{\circ}$ и последующей гомотетии с центром $O$ и коэффициентом 2. Аналогичный результат получим для других точек $L$, $M$ пересечения одноцветных прямых. Таким образом, треугольник $KLM$ получается из треугольника $DEF$ поворотной гомотетией с центром $O$ и коэффициентом 2. Тогда треугольник $KLM$ подобен треугольнику $DEF$ с коэффициентом 2, и следовательно, равен треугольнику $ABC$
