Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16360
2026-02-17 
Пусть $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ - высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_{2}$ - точка касания вписанной окружности треугольника $AB_{1}C_{1}$ со стороной $B_{1}C_{1}$; аналогично определяются точки $B_{2}$, $C_{2}$. Докажите, что прямые $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, $C_{1}C_{2}$ пересекаются в одной точке
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$, $p$ - стороны и полупериметр треугольника $ABC$. Треугольники $AB_{1}C_{1}$ и $ABC$ подобны (см. задачу @H19), поэтому $\frac{B_{1}A_{2}}{A_{2}C_{1}}=\frac{p-b}{p-c}$ (см. задачи 6076 и 4014). Аналогично получаем, что
$\frac{C_{1}B_{2}}{B_{2}A_{1}}=\frac{p-c}{p-a},~\frac{A_{1}C_{2}}{C_{2}B_{1}}=\frac{p-a}{p-b}.$
Тогда
$\frac{B_{1}A_{2}}{A_{2}C_{1}}\cdot\frac{C_{1}B_{2}}{B_{2}A_{1}}\cdot\frac{A_{1}C_{2}}{C_{2}B_{1}}=\frac{p-b}{p-c}\cdot\frac{p-c}{p-a}\cdot\frac{p-a}{p-b}=1.$
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 5230) прямые $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ и $C_{1}C_{2}$ пересекаются в одной точке
Пусть $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ - высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_{2}$ - точка касания вписанной окружности треугольника $AB_{1}C_{1}$ со стороной $B_{1}C_{1}$; аналогично определяются точки $B_{2}$, $C_{2}$. Докажите, что прямые $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, $C_{1}C_{2}$ пересекаются в одной точке
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$, $p$ - стороны и полупериметр треугольника $ABC$. Треугольники $AB_{1}C_{1}$ и $ABC$ подобны (см. задачу @H19), поэтому $\frac{B_{1}A_{2}}{A_{2}C_{1}}=\frac{p-b}{p-c}$ (см. задачи 6076 и 4014). Аналогично получаем, что
$\frac{C_{1}B_{2}}{B_{2}A_{1}}=\frac{p-c}{p-a},~\frac{A_{1}C_{2}}{C_{2}B_{1}}=\frac{p-a}{p-b}.$
Тогда
$\frac{B_{1}A_{2}}{A_{2}C_{1}}\cdot\frac{C_{1}B_{2}}{B_{2}A_{1}}\cdot\frac{A_{1}C_{2}}{C_{2}B_{1}}=\frac{p-b}{p-c}\cdot\frac{p-c}{p-a}\cdot\frac{p-a}{p-b}=1.$
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 5230) прямые $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ и $C_{1}C_{2}$ пересекаются в одной точке
