ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В полукруг с диаметром $AB$ вписана окружность, касающаяся $AB$ в точке $C$. Касательные к этой окружности, перпендикулярные $AB$, пересекают $AB$ в точках $M$ и $N$ ($N$ между $B$ и $M$). Известно, что $AM=16$ и $BN=4$. Найдите радиус окружности


Решение:


Пусть $O$ - центр полукруга, $R$ - его радиус, $O_{1}$ - центр окружности, $r$ - её радиус, $C$ - точка касания окружности с отрезком $AB$, $P$ - точка касания окружности с полукругом. Тогда

$MN=2r,~2R=AB=AM+MN+NB=16+2r+4=2r+20,$

$OP=OB=R=\frac{1}{2}AB=r+10,$

$OC=OB-BN-CN=R-4-r=(r+10)-4-r=6.$

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания (см. задачу @H1758), поэтому

$OO_{1}=OP-O_{1}P=(r+10)-r=10.$

Из прямоугольного треугольника $OCO_{1}$ находим, что

$r=O_{1}C=\sqrt{OO_{1}^{2}-OC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.