Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16349
2026-02-17 
Точка $X$ лежит строго внутри описанной около треугольника $ABC$ окружности. Обозначим через $I_{B}$ и $I_{C}$ центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $XI_{B}\cdot XI_{C}\gt XB\cdot XC$
Решение:
Обозначим через $\Gamma$ окружность с диаметром $I_{B}I_{C}$ Поскольку $CI_{C}\perp CI_{B}$ и $BI_{C}\perp BI_{B}$, точки $B$ и $C$ лежат на $\Gamma$.
Обозначим через $I$ центр вписанной окружности $ABC$. Если точка $X$ лежит внутри угла $BIC$, то углы $XBI_{C}$ и $XCI_{B}$ тупые, поэтому $XI_{B}\gt XC$ и $XI_{C}\gt XB$ (см. задачу 6870). Перемножив эти неравенства, получим требуемое.
В противном случае точки $X$ и $A$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$. Продлим отрезки $CX$ и $I_{B}X$ до пересечения с $\Gamma$ в точках $C_{1}$ и $Y$ соответственно. Поскольку из точек $B$ и $A$ отрезок $II_{C}$ виден под прямым углом, четырёхугольник $AI_{C}BI$ вписан в окружность с диаметром $II_{C}$, поэтому
$\angle XC_{1}B=\angle CC_{1}B=\angle CI_{C}B=\angle II_{C}B=\angle IAB=\frac{1}{2}\angle CAB\lt\frac{1}{2}\angle CXB=\frac{1}{2}(\angle XC_{1}B+\angle XBC_{1}),$
откуда $\angle XC_{1}B\lt\angle XBC_{1}$, поэтому $XC_{1}\gt XB$. Кроме того, поскольку длина хорды окружности не превосходит длины диаметра,
$I_{B}X+XI_{C}\geq I_{B}I_{C}\geq IB_{Y}=I_{B}X+XY,$
откуда $XI_{C}\gt XY$. Учитывая, что $XI_{B}\cdot XY=XC\cdot XC_{1}$ как произведения отрезков пересекающихся хорд, получим
$XI_{B}\cdot XI_{C}\geq XI_{B}\cdot XY=XC\cdot XC_{1}\gt XC\cdot XB.$
Что и требовалось доказать
Точка $X$ лежит строго внутри описанной около треугольника $ABC$ окружности. Обозначим через $I_{B}$ и $I_{C}$ центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $XI_{B}\cdot XI_{C}\gt XB\cdot XC$
Решение:
Обозначим через $\Gamma$ окружность с диаметром $I_{B}I_{C}$ Поскольку $CI_{C}\perp CI_{B}$ и $BI_{C}\perp BI_{B}$, точки $B$ и $C$ лежат на $\Gamma$.
Обозначим через $I$ центр вписанной окружности $ABC$. Если точка $X$ лежит внутри угла $BIC$, то углы $XBI_{C}$ и $XCI_{B}$ тупые, поэтому $XI_{B}\gt XC$ и $XI_{C}\gt XB$ (см. задачу 6870). Перемножив эти неравенства, получим требуемое.
В противном случае точки $X$ и $A$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$. Продлим отрезки $CX$ и $I_{B}X$ до пересечения с $\Gamma$ в точках $C_{1}$ и $Y$ соответственно. Поскольку из точек $B$ и $A$ отрезок $II_{C}$ виден под прямым углом, четырёхугольник $AI_{C}BI$ вписан в окружность с диаметром $II_{C}$, поэтому
$\angle XC_{1}B=\angle CC_{1}B=\angle CI_{C}B=\angle II_{C}B=\angle IAB=\frac{1}{2}\angle CAB\lt\frac{1}{2}\angle CXB=\frac{1}{2}(\angle XC_{1}B+\angle XBC_{1}),$
откуда $\angle XC_{1}B\lt\angle XBC_{1}$, поэтому $XC_{1}\gt XB$. Кроме того, поскольку длина хорды окружности не превосходит длины диаметра,
$I_{B}X+XI_{C}\geq I_{B}I_{C}\geq IB_{Y}=I_{B}X+XY,$
откуда $XI_{C}\gt XY$. Учитывая, что $XI_{B}\cdot XY=XC\cdot XC_{1}$ как произведения отрезков пересекающихся хорд, получим
$XI_{B}\cdot XI_{C}\geq XI_{B}\cdot XY=XC\cdot XC_{1}\gt XC\cdot XB.$
Что и требовалось доказать
