ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$


Решение:


Из условия следует, что

$FD=CD,~DE=AD,~\angle FDE=\angle FDC+\angle CDE=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}=\angle CDA.$

Следовательно, треугольники $FDE$ и $CDA$ равны, поэтому

$\angle DEL=\angle DEA=\angle DAC=\angle DAL.$

Значит, точки $A$, $E$, $L$ и $D$ лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы $ALE$ и $ADE$ опираются на одну и ту же дугу, значит,

$\angle FLC=\angle ALE=\angle ADE=60^{\circ}.$


Отложим на луче $LC$ отрезок $LK=LF$. Поскольку треугольник $LFK$ равносторонний,

$FK=FL~\mbox{и}~\angle KFL=\angle CFD=60^{\circ}.$

Значит,

$\angle KFC=\angle KFL-\angle CFL=60^{\circ}-\angle CFL=\angle DFC-\angle CFL=\angle DFL,$

поэтому треугольники $KFC$ и $LFD$ равны по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, $KC=LD$, что равносильно утверждению задачи