Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16358
2026-02-17 
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_{1}IO_{2}$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырёхугольника
Решение:
Заметим, что прямая $O_{1}O_{2}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $DI$, а т.к. $IO_{1}O_{2}$ - половина центрального угла $IO_{1}D$ описанной окружности треугольника $AID$, и при этом $IAD$ - соответствующий вписанный угол этой окружности, то
$\angle IO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle IO_{1}D=\angle IAD.$
Аналогично, $\angle IO_{2}O_{1}=\angle ICD$. Значит, для центра $O$ описанной окружности треугольника $IO_{1}O_{2}$ выполнено равенство
$\angle OIO_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle IOO_{1}=90^{\circ}-\angle IO_{2}O_{1}=90^{\circ}-\angle ICD.$
Кроме того,
$\angle AIO_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle IO_{1}A=90^{\circ}-\angle IDA.$
Значит,
$\angle BIO_{1}+\angle OIO_{1}=\angle BIA+\angle AIO_{1}+\angle OIO_{1}=(180^{\circ}-\angle IAB-\angle IBA)+(90^{\circ}-\angle IDA)+(90^{\circ}-\angle ICD)=360^{\circ}-(\angle IAB+\angle IBA+\angle IDA+\angle ICD)=360^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAD+\angle ABC+\angle ADC+\angle BCD)=360^{\circ}-\frac{1}{2}360^{\circ}=180^{\circ}.$
Следовательно, точки $B$, $I$, $O$ лежат на одной прямой - прямой, содержащей биссектрису угла $ABC$
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_{1}IO_{2}$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырёхугольника
Решение:
Заметим, что прямая $O_{1}O_{2}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $DI$, а т.к. $IO_{1}O_{2}$ - половина центрального угла $IO_{1}D$ описанной окружности треугольника $AID$, и при этом $IAD$ - соответствующий вписанный угол этой окружности, то
$\angle IO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle IO_{1}D=\angle IAD.$
Аналогично, $\angle IO_{2}O_{1}=\angle ICD$. Значит, для центра $O$ описанной окружности треугольника $IO_{1}O_{2}$ выполнено равенство
$\angle OIO_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle IOO_{1}=90^{\circ}-\angle IO_{2}O_{1}=90^{\circ}-\angle ICD.$
Кроме того,
$\angle AIO_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle IO_{1}A=90^{\circ}-\angle IDA.$
Значит,
$\angle BIO_{1}+\angle OIO_{1}=\angle BIA+\angle AIO_{1}+\angle OIO_{1}=(180^{\circ}-\angle IAB-\angle IBA)+(90^{\circ}-\angle IDA)+(90^{\circ}-\angle ICD)=360^{\circ}-(\angle IAB+\angle IBA+\angle IDA+\angle ICD)=360^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAD+\angle ABC+\angle ADC+\angle BCD)=360^{\circ}-\frac{1}{2}360^{\circ}=180^{\circ}.$
Следовательно, точки $B$, $I$, $O$ лежат на одной прямой - прямой, содержащей биссектрису угла $ABC$
