Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16361
2026-02-17 
Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$. Аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведённая в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$
Решение:
Пусть $MN$ - касательная, к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, проведённая в точке $P$, причём точка $P$ лежит между $M$ и $N$, а точки $B$ и $M$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Тогда
$180^{\circ}=\angle NPD+\angle DPD_{1}+\angle MPD_{1}=\angle NPD+90^{\circ}+\angle MPD_{1},$
откуда
$\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_{1}.$
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 8170) и вписанности четырёхугольника $ABCD$ получаем
$\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_{1}=90^{\circ}-\angle PA_{1}A=\angle PAD=\angle CAD=\angle CBD=\angle CBP,$
Следовательно, $MN\parallel BC$. Что и требовалось доказат
Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$. Аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведённая в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$
Решение:
Пусть $MN$ - касательная, к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, проведённая в точке $P$, причём точка $P$ лежит между $M$ и $N$, а точки $B$ и $M$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Тогда
$180^{\circ}=\angle NPD+\angle DPD_{1}+\angle MPD_{1}=\angle NPD+90^{\circ}+\angle MPD_{1},$
откуда
$\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_{1}.$
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 8170) и вписанности четырёхугольника $ABCD$ получаем
$\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_{1}=90^{\circ}-\angle PA_{1}A=\angle PAD=\angle CAD=\angle CBD=\angle CBP,$
Следовательно, $MN\parallel BC$. Что и требовалось доказат
