Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол между соседними боковыми гранями.
Подробнее
Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды пирамиды равны $a$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Подробнее
Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды пирамиды равны $a$. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
Подробнее
Докажите, что в любой правильной пирамиде углы между соседними боковыми гранями равны.
Подробнее
Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром $a$.
Подробнее
Описанный параллелепипед тетраэдра. Через противоположные рёбра $AB$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$ проведены параллельные плоскости, одна из которых содержит прямую $AB$, а вторая - прямую $CD$ (см. задачу @H8139). Аналогично получим ещё две пары параллельных плоскостей. Рассмотрим параллелепипед, образованный пересечениями этих трёх пар параллельных плоскостей. Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра $ABCD$ являются диагоналями противоположных граней параллелепипеда.
Подробнее
Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным $a$.
Подробнее
Найдите площадь сечения, проведённого через высоту и одно из рёбер правильного тетраэдра, если ребро тетраэдра равно $a$.
Подробнее
В правильном тетраэдре найдите угол между ребром и плоскостью грани, не содержащей это ребро.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по периметру и радиусам вписанной и вневписанной окружностей.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по периметру и радиусам двух вневписанных окружностей.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусам трёх его вневписанных окружностей.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и радиусам вписанной и описанной окружностей.
Подробнее
На плоскости зафиксированы луч с началом $A$ и точка $P$ вне прямой, содержащей этот луч. На луче выбирают переменную точку $K$, затем на продолжении отрезка $AK$ за точку $K$ отмечают точку $N$ так, что $NK=1$, а на прямой $PK$ отмечают точку $M$ (отличную от $K$) так, что $NM=1$. Докажите, что все прямые $MN$, полученные таким образом, касаются одной окружности.
Подробнее
Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.
Подробнее
