Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10483
2023-02-18 
Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $CK$, если $AB=\sqrt{3}$ и известно, что около четырёхугольника $KLCM$ можно описать окружность.
Решение:
Пусть $CN$ - третья медиана треугольника $ABC$. Обозначим $KN=x$. Тогда $CN=3x$ (см. задачу 4864). По теореме о средней линии треугольника $ML\parallel AB$, поэтому $\angle KAN=\angle MLK$. Вписанные в окружность углы $MCK$ и $MLK$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle KAN=\angle MLK=\angle MCK=\angle ACN.$
Значит, треугольники $KAN$ и $ACN$ подобны по двум углам (угол при вершине $N$ - общий). Тогда $\frac{AN}{CN}=\frac{KN}{AN}$, или $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3x}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Отсюда находим, что $x=\frac{1}{2}$. Следовательно,
$CK=2x=1.$
Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $CK$, если $AB=\sqrt{3}$ и известно, что около четырёхугольника $KLCM$ можно описать окружность.
Решение:
Пусть $CN$ - третья медиана треугольника $ABC$. Обозначим $KN=x$. Тогда $CN=3x$ (см. задачу 4864). По теореме о средней линии треугольника $ML\parallel AB$, поэтому $\angle KAN=\angle MLK$. Вписанные в окружность углы $MCK$ и $MLK$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle KAN=\angle MLK=\angle MCK=\angle ACN.$
Значит, треугольники $KAN$ и $ACN$ подобны по двум углам (угол при вершине $N$ - общий). Тогда $\frac{AN}{CN}=\frac{KN}{AN}$, или $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3x}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$. Отсюда находим, что $x=\frac{1}{2}$. Следовательно,
$CK=2x=1.$
