Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10487
2023-02-18 
Две окружности касаются внутренним образом в точке $S$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $T$. Прямая $ST$ пересекает внешнюю окружность в точках $S$ и $C$. Найдите площадь четырёхугольника $SACB$, если известно, что $CA=5$, $CB\parallel AS$, а радиусы окружностей относятся как $11:16$.
Решение:
Пусть внутренняя окружность пересекает отрезки $SA$ и $SB$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а $P$ - точка пересечения прямой $AB$ с общей касательной к окружностям, проведённой в точке $S$. Предположим, что точка $B$ лежит между $A$ и $P$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle SAB=\angle BSP=\angle NSP=\angle SMN,$
поэтому $MN\parallel AB$. Тогда треугольник $SMN$ подобен треугольнику $SAB$, причём коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, т.е. $\frac{11}{16}$. Кроме того,
$\angle MST=\angle MNT=\angle BTN=\angle BST,$
т.е. $ST$ (а значит, и $SC$) - биссектриса угла $ASB$. Поскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны (см. задачу 5282), $SB=AC=BC=5$. Таким образом, вписанный четырёхугольник $SACB$ - равнобедренная трапеция (или прямоугольник) с основаниями $AS$, $BC=5$ и боковыми сторонами $BS=AC=5$.
Из подобия треугольников $SMN$ и $SAB$ также следует, что $\frac{ST}{SC}=\frac{11}{16}$, значит, $\frac{ST}{TC}=\frac{11}{5}$. Тогда треугольник $ATS$ подобен треугольнику $BTC$ с коэффициентом $\frac{11}{5}$, поэтому
$AS=\frac{11}{5}BC=\frac{11}{5}\cdot5=11.$
Пусть $BH$ - высота равнобедренной трапеции $SACB$. Тогда (см. задачу 5493)
$SH=\frac{AS-BC}{2}=\frac{11-5}{2}=3,~BH=\sqrt{BS^{2}-SH^{2}}=\sqrt{25-9}=4.$
Следовательно,
$S_{SACB}=\frac{AS+BC}{2}\cdot BH=8\cdot4=32.$
Две окружности касаются внутренним образом в точке $S$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $T$. Прямая $ST$ пересекает внешнюю окружность в точках $S$ и $C$. Найдите площадь четырёхугольника $SACB$, если известно, что $CA=5$, $CB\parallel AS$, а радиусы окружностей относятся как $11:16$.
Решение:
Пусть внутренняя окружность пересекает отрезки $SA$ и $SB$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а $P$ - точка пересечения прямой $AB$ с общей касательной к окружностям, проведённой в точке $S$. Предположим, что точка $B$ лежит между $A$ и $P$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle SAB=\angle BSP=\angle NSP=\angle SMN,$
поэтому $MN\parallel AB$. Тогда треугольник $SMN$ подобен треугольнику $SAB$, причём коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, т.е. $\frac{11}{16}$. Кроме того,
$\angle MST=\angle MNT=\angle BTN=\angle BST,$
т.е. $ST$ (а значит, и $SC$) - биссектриса угла $ASB$. Поскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны (см. задачу 5282), $SB=AC=BC=5$. Таким образом, вписанный четырёхугольник $SACB$ - равнобедренная трапеция (или прямоугольник) с основаниями $AS$, $BC=5$ и боковыми сторонами $BS=AC=5$.
Из подобия треугольников $SMN$ и $SAB$ также следует, что $\frac{ST}{SC}=\frac{11}{16}$, значит, $\frac{ST}{TC}=\frac{11}{5}$. Тогда треугольник $ATS$ подобен треугольнику $BTC$ с коэффициентом $\frac{11}{5}$, поэтому
$AS=\frac{11}{5}BC=\frac{11}{5}\cdot5=11.$
Пусть $BH$ - высота равнобедренной трапеции $SACB$. Тогда (см. задачу 5493)
$SH=\frac{AS-BC}{2}=\frac{11-5}{2}=3,~BH=\sqrt{BS^{2}-SH^{2}}=\sqrt{25-9}=4.$
Следовательно,
$S_{SACB}=\frac{AS+BC}{2}\cdot BH=8\cdot4=32.$
