Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10485
2023-02-18 
Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Прямая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Найдите площадь четырёхугольника $TACB$, если известно, что $CB=BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.
Решение:
Пусть внутренняя окружность пересекает отрезки $TA$ и $TB$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а $P$ - точка пересечения прямой $AB$ с общей касательной к окружностям, проведённой в точке $T$. Предположим, что точка $B$ лежит между $A$ и $P$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle PAT=\angle BAT=\angle BTP=\angle NMT,$
поэтому $MN\parallel AB$. Тогда треугольник $MTN$ подобен треугольнику $ATB$, причём коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, т.е. $\frac{5}{8}$. Кроме того,
$\angle ATS=\angle MTS=\angle MNS=\angle BSN=\angle BTS,$
т.е. $TS$ (а значит, и $TC$) - биссектриса угла $ATB$. Поскольку равные вписанные углы опираются на равные хорды, $AC=BC=BT=3$. Таким образом, три стороны вписанного в окружность четырёхугольника $TACB$ равны. Следовательно, это равнобедренная трапеция или прямоугольник (см. задачу 6847). Из подобия треугольников $MTN$ и $ATB$ также следует, что $\frac{TS}{TC}=\frac{5}{8}$, значит, $\frac{TS}{CS}=\frac{5}{3}$. Тогда треугольник $AST$ подобен треугольнику $BSC$ с коэффициентом $\frac{5}{3}$, поэтому
$AT=\frac{5}{3}BC=\frac{5}{3}\cdot3=5.$
Осталось найти площадь равнобедренной трапеции $TACB$ с основаниями $BC=3$, $AT=5$ и боковыми сторонами $AC=BT=3$. Пусть $BH$ - высота трапеции. Тогда (см. задачу 5493)
$TH=\frac{AT-BC}{2}=\frac{5-3}{2}=1,~BH=\sqrt{BT^{2}-TH^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}.$
Следовательно,
$S_{TACB}=\frac{AT+BC}{2}\cdot BH=4\cdot2\sqrt{2}=8\sqrt{2}.$
Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Прямая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Найдите площадь четырёхугольника $TACB$, если известно, что $CB=BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.
Решение:
Пусть внутренняя окружность пересекает отрезки $TA$ и $TB$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а $P$ - точка пересечения прямой $AB$ с общей касательной к окружностям, проведённой в точке $T$. Предположим, что точка $B$ лежит между $A$ и $P$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle PAT=\angle BAT=\angle BTP=\angle NMT,$
поэтому $MN\parallel AB$. Тогда треугольник $MTN$ подобен треугольнику $ATB$, причём коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, т.е. $\frac{5}{8}$. Кроме того,
$\angle ATS=\angle MTS=\angle MNS=\angle BSN=\angle BTS,$
т.е. $TS$ (а значит, и $TC$) - биссектриса угла $ATB$. Поскольку равные вписанные углы опираются на равные хорды, $AC=BC=BT=3$. Таким образом, три стороны вписанного в окружность четырёхугольника $TACB$ равны. Следовательно, это равнобедренная трапеция или прямоугольник (см. задачу 6847). Из подобия треугольников $MTN$ и $ATB$ также следует, что $\frac{TS}{TC}=\frac{5}{8}$, значит, $\frac{TS}{CS}=\frac{5}{3}$. Тогда треугольник $AST$ подобен треугольнику $BSC$ с коэффициентом $\frac{5}{3}$, поэтому
$AT=\frac{5}{3}BC=\frac{5}{3}\cdot3=5.$
Осталось найти площадь равнобедренной трапеции $TACB$ с основаниями $BC=3$, $AT=5$ и боковыми сторонами $AC=BT=3$. Пусть $BH$ - высота трапеции. Тогда (см. задачу 5493)
$TH=\frac{AT-BC}{2}=\frac{5-3}{2}=1,~BH=\sqrt{BT^{2}-TH^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}.$
Следовательно,
$S_{TACB}=\frac{AT+BC}{2}\cdot BH=4\cdot2\sqrt{2}=8\sqrt{2}.$
