Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10484
2023-02-18 
Медианы $AP$ и $BQ$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$. Найдите длину отрезка $AB$, если $CD=\sqrt{12}$ и известно, что вокруг четырёхугольника $PCQD$ можно описать окружность.
Решение:
Пусть $CR$ - третья медиана треугольника $ABC$. Обозначим $AR=BR=x$. По теореме о медианах треугольника (см. задачу 4864)
$DR=\frac{1}{2}CR=\sqrt{3},~CR=3DR=3\sqrt{3}.$
По теореме о средней линии треугольника $PQ\parallel AB$, поэтому $\angle DAR=\angle QPD$. Вписанные в окружность углы $QPD$ и $QCD$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle DAR=\angle QPD=\angle QCD=\angle ACR.$
Значит, треугольники $DAR$ и $ACR$ подобны по двум углам (угол при вершине $R$ - общий). Тогда $\frac{AR}{CR}=\frac{DR}{AR}$, или $\frac{x}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{x}$. Отсюда находим, что $x=3$. Следовательно,
$AB=2x=6.$
Медианы $AP$ и $BQ$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$. Найдите длину отрезка $AB$, если $CD=\sqrt{12}$ и известно, что вокруг четырёхугольника $PCQD$ можно описать окружность.
Решение:
Пусть $CR$ - третья медиана треугольника $ABC$. Обозначим $AR=BR=x$. По теореме о медианах треугольника (см. задачу 4864)
$DR=\frac{1}{2}CR=\sqrt{3},~CR=3DR=3\sqrt{3}.$
По теореме о средней линии треугольника $PQ\parallel AB$, поэтому $\angle DAR=\angle QPD$. Вписанные в окружность углы $QPD$ и $QCD$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle DAR=\angle QPD=\angle QCD=\angle ACR.$
Значит, треугольники $DAR$ и $ACR$ подобны по двум углам (угол при вершине $R$ - общий). Тогда $\frac{AR}{CR}=\frac{DR}{AR}$, или $\frac{x}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{x}$. Отсюда находим, что $x=3$. Следовательно,
$AB=2x=6.$
