ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-02-18   
Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Площадь треугольника $BDE$ относится к площади треугольника $ABC$ как $1:2$, $\angle CDE=30^{\circ}$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $BO$, если $CE=1$.


Решение:


Точки $D$ и $E$ лежат на окружности с диаметром $AC$, поэтому $\angle ADC=\angle AEC=90^{\circ}$. Значит, $AE$ и $CD$ - высоты остроугольного треугольника $ABC$. Треугольник $EBD$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\cos\angle ABC=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (см. задачи 8109 и 6420), поэтому $\angle ABC=45^{\circ}$. Тогда

$\angle BAE=90^{\circ}-\angle ABC=45^{\circ}.$


Вписанные углы $CAE$ и $CDE$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому

$\angle CAE=\angle CDE=30^{\circ}.$

Тогда

$BE=AE=CEctg30^{\circ}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}.$


Пусть прямая $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $H$. Тогда $BH$ - третья высота треугольника $ABC$ (см. задачу 4911), поэтому

$\angle OBE=\angle HBC=\angle CAE=30^{\circ}.$

Из прямоугольного треугольника $BOE$ находим, что

$OB=\frac{BE}{\cos\angle OBE}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2.$