Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10482
2023-02-18 
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. Окружности, вписанные в треугольники $ACD$ и $BCD$ касаются $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно, причём $CE:CF=1:2$. Найдите отношение $AD:DB$, если известно, что радиусы указанных окружностей равны.
Решение:
Первый способ. Пусть окружность, вписанная в треугольник $ACD$, касается его сторон $AD$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, а окружность, вписанная в треугольник $BCD$, касается его сторон $BD$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно. Обозначим
$CK=CE=EF=x,~DF=DN=y,~AM=AK=z,~BN=BL=t.$
Тогда
$CP=2CE=2x,~AD=AM+MD=AM+ED=z+x+y,~BD=t+y.$
Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ - площади треугольников $ACD$ и $BCD$ соответственно, $p_{1}=2x+y+z$ и $p_{2}=2x+y+t$ - полупериметры этих треугольников, $r$ - радиус окружностей. Тогда
$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{AD}{BD},~\mbox{и}~\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{p_{1}r}{p_{2}r}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.$
Таким образом, $\frac{AD}{BD}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$, или
$\frac{z+x+y}{y+t}=\frac{2x+y+z}{2x+y+t},$
откуда находим, что $t=2x+2z+y$. Следовательно,
$\frac{AD}{BD}=\frac{z+x+y}{y+t}=\frac{z+x+y}{y+2x+2z+y}=\frac{z+x+y}{2(z+x+y)}=\frac{1}{2}.$
Второй способ. Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ - площади треугольников $ACD$ и $BCD$ соответственно, $p_{1}$ и $p_{2}$ - полупериметры этих треугольников, $r$ - радиус окружностей. Тогда
$CE=p_{1}-AD,~CF=p_{2}-BD$
(см. задачу 4014), поэтому
$p_{1}=AD+CE,~p_{2}=BD+CF.$
Значит (см. задачи 6413 и 4244),
$\frac{AD}{BD}=\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{p_{1}r}{p_{2}r}=\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{AD+CE}{BD+CF},$
откуда $AD\cdot CF=DB\cdot CE$. Следовательно,
$\frac{AD}{DB}=\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2}.$
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. Окружности, вписанные в треугольники $ACD$ и $BCD$ касаются $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно, причём $CE:CF=1:2$. Найдите отношение $AD:DB$, если известно, что радиусы указанных окружностей равны.
Решение:
Первый способ. Пусть окружность, вписанная в треугольник $ACD$, касается его сторон $AD$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, а окружность, вписанная в треугольник $BCD$, касается его сторон $BD$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно. Обозначим
$CK=CE=EF=x,~DF=DN=y,~AM=AK=z,~BN=BL=t.$
Тогда
$CP=2CE=2x,~AD=AM+MD=AM+ED=z+x+y,~BD=t+y.$
Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ - площади треугольников $ACD$ и $BCD$ соответственно, $p_{1}=2x+y+z$ и $p_{2}=2x+y+t$ - полупериметры этих треугольников, $r$ - радиус окружностей. Тогда
$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{AD}{BD},~\mbox{и}~\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{p_{1}r}{p_{2}r}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.$
Таким образом, $\frac{AD}{BD}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$, или
$\frac{z+x+y}{y+t}=\frac{2x+y+z}{2x+y+t},$
откуда находим, что $t=2x+2z+y$. Следовательно,
$\frac{AD}{BD}=\frac{z+x+y}{y+t}=\frac{z+x+y}{y+2x+2z+y}=\frac{z+x+y}{2(z+x+y)}=\frac{1}{2}.$
Второй способ. Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ - площади треугольников $ACD$ и $BCD$ соответственно, $p_{1}$ и $p_{2}$ - полупериметры этих треугольников, $r$ - радиус окружностей. Тогда
$CE=p_{1}-AD,~CF=p_{2}-BD$
(см. задачу 4014), поэтому
$p_{1}=AD+CE,~p_{2}=BD+CF.$
Значит (см. задачи 6413 и 4244),
$\frac{AD}{BD}=\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{p_{1}r}{p_{2}r}=\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{AD+CE}{BD+CF},$
откуда $AD\cdot CF=DB\cdot CE$. Следовательно,
$\frac{AD}{DB}=\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2}.$
