Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10490
2023-02-18 
На плоскости задана точка $P$. Рассматриваются различные равносторонние треугольники $ABC$, такие что $PA=3$, $PB=4$. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка $PC$?
Решение:
Пусть при повороте на $60^{\circ}$ вокруг точки $C$ точка $P$ перейдёт в точку $Q$. Тогда
$BQ=AP,~PC=PQ\leq BQ+PB=AP+PB=3+4=7.$
Докажем, что найдётся точка $C$, для которой полученное неравенство обращается в равенство. Действительно, пусть $\angle APB=120^{\circ}$. Тогда точка $P$ лежит на меньшей дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$ (см. задачу 81369), поэтому
$CP=AP+PB$
(см. задачу 8107). Что и требовалось доказать.
На плоскости задана точка $P$. Рассматриваются различные равносторонние треугольники $ABC$, такие что $PA=3$, $PB=4$. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка $PC$?
Решение:
Пусть при повороте на $60^{\circ}$ вокруг точки $C$ точка $P$ перейдёт в точку $Q$. Тогда
$BQ=AP,~PC=PQ\leq BQ+PB=AP+PB=3+4=7.$
Докажем, что найдётся точка $C$, для которой полученное неравенство обращается в равенство. Действительно, пусть $\angle APB=120^{\circ}$. Тогда точка $P$ лежит на меньшей дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$ (см. задачу 81369), поэтому
$CP=AP+PB$
(см. задачу 8107). Что и требовалось доказать.
