Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10481
2023-02-18 
Точки $M$ и $N$ - середины соответственно гипотенузы $AB$ и катета $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает катет $BC$ и прямую $MN$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.
Решение:
а) Поскольку $MN$ - средняя линия треугольника $ABC$, прямые $ML$ и $AC$ параллельны. Значит,
$\angle ALM=\angle LAC=\angle LAM,$
поэтому $LM=AM=BM=CM$, т.е. точки $A$, $B$, $C$ и $L$ лежат на окружности с центром $M$. Тогда
$\angle LBC=\angle LAC=\angle LAB=\angle LCB.$
Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Тогда $\angle LAB=\frac{\alpha}{2}$, а т.к. $\cos\alpha=\frac{7}{25}$, то
$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25}.$
Точка $L$ лежит на окружности с диаметром $AB$, поэтому $\angle ALB=90^{\circ}$. Коэффициент подобия треугольников $BLC$ и $AML$ равен
$k=\frac{AM}{LB}=\frac{AB}{2BL}=\frac{1}{2\sin\angle LAB}=\frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$
Следовательно, отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е.
$k^{2}=\frac{1}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{4\cdot\frac{9}{25}}=\frac{25}{36}.$
.
Точки $M$ и $N$ - середины соответственно гипотенузы $AB$ и катета $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает катет $BC$ и прямую $MN$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.
Решение:
а) Поскольку $MN$ - средняя линия треугольника $ABC$, прямые $ML$ и $AC$ параллельны. Значит,
$\angle ALM=\angle LAC=\angle LAM,$
поэтому $LM=AM=BM=CM$, т.е. точки $A$, $B$, $C$ и $L$ лежат на окружности с центром $M$. Тогда
$\angle LBC=\angle LAC=\angle LAB=\angle LCB.$
Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Тогда $\angle LAB=\frac{\alpha}{2}$, а т.к. $\cos\alpha=\frac{7}{25}$, то
$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25}.$
Точка $L$ лежит на окружности с диаметром $AB$, поэтому $\angle ALB=90^{\circ}$. Коэффициент подобия треугольников $BLC$ и $AML$ равен
$k=\frac{AM}{LB}=\frac{AB}{2BL}=\frac{1}{2\sin\angle LAB}=\frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$
Следовательно, отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е.
$k^{2}=\frac{1}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{4\cdot\frac{9}{25}}=\frac{25}{36}.$
.
