ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-02-18   
Окружность касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других его сторон на три равные части.
а) Докажите, что данный треугольник равнобедренный.
б) В каком отношении высота этого треугольника делит его боковую сторону?


Решение:


а) Пусть окружность пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$, а сторону $AC$ - в точках $M$ и $N$. При этом $BK=KL=AL$ и $AM=MN=CN$. Тогда $AL\cdot AK=AM\cdot AN$ (см. задачу 6106), или $2AL^{2}=2AM^{2}$. Отсюда получаем, что $AL=AM$, значит,

$AB=3AL=3AM=AC.$

Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный.
б) Пусть $D$ - точка касания окружности с основанием $BC$. Тогда $D$ - середина $BC$, а $AD$ - высота треугольника $ABC$.
Обозначим $BK=a$, $\angle ABC=\alpha$. Тогда $AB=AC=3a$. По теореме о касательной и секущей

$BD=\sqrt{BK\cdot BL}=\sqrt{a\cdot2a}=a\sqrt{2},~\cos\alpha=\frac{BD}{AB}=\frac{a\sqrt{2}}{3a}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$


Пусть $CH$ - вторая высота треугольника $ABC$. Тогда

$BH=BC\cos\alpha=2a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{4a}{3},~AH=AB-BH=3a-\frac{4a}{3}=\frac{5a}{3}.$

Следовательно,

$\frac{AH}{BH}=\frac{\frac{5a}{3}}{\frac{4a}{3}}=\frac{5}{4}.$