Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10489
2023-02-18 
В равнобедренном треугольнике с периметром 60 точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.
Решение:
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$, в котором $AB=BC$, $p=30$ - полупериметр треугольника, $S$ - площадь, $M$ - середина основания $AC$, $O$ - точка пересечения медиан. Поскольку треугольник равнобедренный, отрезок $BM$ - его медиана, высота и биссектриса. Значит, точка $O$ лежит на вписанной окружности треугольника, а $OM=3r$ - диаметр окружности. Тогда (см. задачи 4864 и 4244)
$BM=3OM=6r,~S=pr=30r,~S=\frac{1}{2}AC\cdot BM=AC\cdot3r.$
Из равенства $30r=3r\cdot AC$ находим, что $AC=10$. Следовательно,
$AB=BC=\frac{1}{2}(60-10)=25.$
В равнобедренном треугольнике с периметром 60 точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.
Решение:
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$, в котором $AB=BC$, $p=30$ - полупериметр треугольника, $S$ - площадь, $M$ - середина основания $AC$, $O$ - точка пересечения медиан. Поскольку треугольник равнобедренный, отрезок $BM$ - его медиана, высота и биссектриса. Значит, точка $O$ лежит на вписанной окружности треугольника, а $OM=3r$ - диаметр окружности. Тогда (см. задачи 4864 и 4244)
$BM=3OM=6r,~S=pr=30r,~S=\frac{1}{2}AC\cdot BM=AC\cdot3r.$
Из равенства $30r=3r\cdot AC$ находим, что $AC=10$. Следовательно,
$AB=BC=\frac{1}{2}(60-10)=25.$
