Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10491
2023-02-18 
Пусть $OP$ - диаметр окружности $\Omega$, $\omega$ - окружность с центром в точке $P$ и радиусом меньше, чем у $\Omega$. Окружности $\Omega$ и $\omega$ пересекаются в точках $C$ и $D$. Хорда $OB$ окружности $\Omega$ пересекает вторую окружность в точке $A$. Найдите $AB$, если $BD\cdot BC=5$.
Решение:
Пусть прямая $OP$ вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $N$. Точка $B$ лежит на окружности с диаметром $OP$, значит, $\angle OBP=90^{\circ}$. Прямая $PB$ содержит диаметр окружности $\omega$, перпендикулярный хорде $AN$, поэтому $B$ - середина $AN$.
При симметрии относительно прямой $OP$ обе окружности переходят сами в себя (см. задачу 5281), поэтому точки $C$ и $D$ симметричны относительно этой прямой. Тогда дуга $OC$ окружности $\Omega$, не содержащая точки $D$, симметрична дуге $OD$ этой окружности, не содержащей точки $C$. Значит, вписанные углы $OBC$ и $OBD$, опирающиеся на эти дуги, равны.
Пусть прямая $BD$ вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $K$. Тогда
$\angle NBK=\angle OBD=\angle OBC=\angle ABC.$
Кроме того, прямая $PK$ - серединный перпендикуляр к хорде $AN$, поэтому, треугольники $ABC$ и $NBK$ симметричны относительно прямой $PB$. Значит, эти треугольники равны. Треугольник $DBA$ подобен треугольнику $NBK$ по двум углам ($\angle ADB=\angle ANK$), следовательно, треугольник $DBA$ подобен треугольнику $ABC$. Тогда $\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$, откуда $AB^{2}=BD\cdot BC=5$. Следовательно, $AB=\sqrt{5}$.
Пусть $OP$ - диаметр окружности $\Omega$, $\omega$ - окружность с центром в точке $P$ и радиусом меньше, чем у $\Omega$. Окружности $\Omega$ и $\omega$ пересекаются в точках $C$ и $D$. Хорда $OB$ окружности $\Omega$ пересекает вторую окружность в точке $A$. Найдите $AB$, если $BD\cdot BC=5$.
Решение:
Пусть прямая $OP$ вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $N$. Точка $B$ лежит на окружности с диаметром $OP$, значит, $\angle OBP=90^{\circ}$. Прямая $PB$ содержит диаметр окружности $\omega$, перпендикулярный хорде $AN$, поэтому $B$ - середина $AN$.
При симметрии относительно прямой $OP$ обе окружности переходят сами в себя (см. задачу 5281), поэтому точки $C$ и $D$ симметричны относительно этой прямой. Тогда дуга $OC$ окружности $\Omega$, не содержащая точки $D$, симметрична дуге $OD$ этой окружности, не содержащей точки $C$. Значит, вписанные углы $OBC$ и $OBD$, опирающиеся на эти дуги, равны.
Пусть прямая $BD$ вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $K$. Тогда
$\angle NBK=\angle OBD=\angle OBC=\angle ABC.$
Кроме того, прямая $PK$ - серединный перпендикуляр к хорде $AN$, поэтому, треугольники $ABC$ и $NBK$ симметричны относительно прямой $PB$. Значит, эти треугольники равны. Треугольник $DBA$ подобен треугольнику $NBK$ по двум углам ($\angle ADB=\angle ANK$), следовательно, треугольник $DBA$ подобен треугольнику $ABC$. Тогда $\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$, откуда $AB^{2}=BD\cdot BC=5$. Следовательно, $AB=\sqrt{5}$.
