Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел $m$ и $n$ равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел $m + 2000n$ и $n + 2000m$?
Подробнее
Придумайте десятизначное число, в записи которого нет нулей, такое, что при прибавлении к нему произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр.
Подробнее
Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.
Подробнее
Докажите, что для любого натурального числа $d$ существует делящееся на него натуральное число $n$, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на $d$.
Подробнее
Существует ли 2005 различных натуральных чисел таких, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Подробнее
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трех исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Подробнее
Среди дедушкиных бумаг был обнаружен счет:
72 индюшки -67,9- долларов.
Первая и последняя цифры числа, которое, очевидно, представляло собой общую цену этих птиц, заменены здесь тире, поскольку они стерлись и стали неразборчивыми.
Каковы две стершиеся цифры, и сколько стоил один индюк?
Подробнее
Натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a + b$ и $a_2 + b_2$ равен 1 или 2.
Подробнее
У каждого из чисел от 1 до 1000000 000 подсчитывается сумма его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитывается сумма его цифр и т. д. до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел получится больше: 1 или 2?
Подробнее
Четыре различных целых трехзначных числа, начинающихся с одной и той же цифры, обладают тем свойством, что их сумма делится на три из них без остатка. Найдите эти числа.
Подробнее
Цифры некоторого семнадцатизначного числа записываются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Докажите, что хотя бы одна из цифр их суммы будет четной.
Подробнее
Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Подробнее
Докажите, что из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на сто.
Подробнее
На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Докажите, что получившееся 444 445-значное число не может быть степенью двойки.
Подробнее
а) Докажите, что числа $1, 2, 3, \cdots, 32$ можно расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними.
б) Можно ли числа $1, 2, 3, \cdots, 100$ расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
Подробнее