Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3449
2019-06-03 
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трех исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Решение:
Обозначим через $a$ первое натуральное число, а через $b$ и $c$ - записанные за ним двузначные числа. Пусть $x = a + b + c$. Согласно условию числа $a, b, c$ и $x$ удовлетворяют уравнению $10^4a + 100b + c = x^3$. Поэтому
$x^3 = 10^4a + 100b + c < 10^4 (a + b + c) = 10^4x$,
откуда $x < 100$. Следовательно, $x$ - двузначное число, $a$ - либо однозначное, либо двузначное число, а $x^3$ - либо пяти-, либо шестизначное число. Поэтому $x \geq 22$ ($21^3 = 9261$ - четырехзначное число). Заметим, что $x^3 - x = 9999a + 99b$, значит, $x^3 - x$ делится на 99 (см. факт 5). Так как $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$, среди чисел $x - 1, x$ и $x + 1$ какое-то делится на 11 (см. факт 9). Заметим, что лишь одно из этих чисел делится на 3, поэтому оно должно делиться и на 9.
Условие, что одно из чисел $x - 1, x, x + 1$ делится на 11, сводит перебор к числам 22, 23, 32, 33, 34, 43, 44, 45, 54, 55, 56, 65, 66, 67, 76, 77, 78, 87, 88, 89, 98, 99. Условие делимости на 9 сводит перебор к следующим вариантам:
1) $x = 44 (x + 1 = 45), 44^3 = 85184, 8 + 51 + 84 > 44$;
2) $x = 45 (x - 1 = 44), 45^3 = 91125, a = 9, b = 11, c = 25$;
3) $x = 54 (x + 1 = 55), 54^3 = 157464, 15 + 74 + 64 > 54$;
4) $x = 55 (x - 1 = 54), 55^3 = 166375, 16 + 63 + 75 > 55$;
5) $x = 89 (x - 1 = 88, x + 1 = 90), 89^3 = 704969, 70 + 49 + + 69 > 89$;
6) $x = 98 (x + 1 = 99), 98^3 = 941192, 94 + 11 + 92 > 98$;
7) $x = 99, 99^3 = 970299, 97 + 2 + 99 > 99, 2$ - не двузначное число.
Ответ: 9, 11, 25.
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трех исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Решение:
Обозначим через $a$ первое натуральное число, а через $b$ и $c$ - записанные за ним двузначные числа. Пусть $x = a + b + c$. Согласно условию числа $a, b, c$ и $x$ удовлетворяют уравнению $10^4a + 100b + c = x^3$. Поэтому
$x^3 = 10^4a + 100b + c < 10^4 (a + b + c) = 10^4x$,
откуда $x < 100$. Следовательно, $x$ - двузначное число, $a$ - либо однозначное, либо двузначное число, а $x^3$ - либо пяти-, либо шестизначное число. Поэтому $x \geq 22$ ($21^3 = 9261$ - четырехзначное число). Заметим, что $x^3 - x = 9999a + 99b$, значит, $x^3 - x$ делится на 99 (см. факт 5). Так как $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$, среди чисел $x - 1, x$ и $x + 1$ какое-то делится на 11 (см. факт 9). Заметим, что лишь одно из этих чисел делится на 3, поэтому оно должно делиться и на 9.
Условие, что одно из чисел $x - 1, x, x + 1$ делится на 11, сводит перебор к числам 22, 23, 32, 33, 34, 43, 44, 45, 54, 55, 56, 65, 66, 67, 76, 77, 78, 87, 88, 89, 98, 99. Условие делимости на 9 сводит перебор к следующим вариантам:
1) $x = 44 (x + 1 = 45), 44^3 = 85184, 8 + 51 + 84 > 44$;
2) $x = 45 (x - 1 = 44), 45^3 = 91125, a = 9, b = 11, c = 25$;
3) $x = 54 (x + 1 = 55), 54^3 = 157464, 15 + 74 + 64 > 54$;
4) $x = 55 (x - 1 = 54), 55^3 = 166375, 16 + 63 + 75 > 55$;
5) $x = 89 (x - 1 = 88, x + 1 = 90), 89^3 = 704969, 70 + 49 + + 69 > 89$;
6) $x = 98 (x + 1 = 99), 98^3 = 941192, 94 + 11 + 92 > 98$;
7) $x = 99, 99^3 = 970299, 97 + 2 + 99 > 99, 2$ - не двузначное число.
Ответ: 9, 11, 25.
