Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3553
2019-06-12 
Натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a + b$ и $a_2 + b_2$ равен 1 или 2.
Решение:
Если $a^2 + b^2$ и $a + b$ делятся на $d$, то и $(a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 2ab$ делится на $d$. Следовательно, $2a^2 = 2a(a+b)^2 - 2ab$ и $2b^2 = 2b (a + b)- 2ab$ делятся на $d$.
Но если $a$ и $b$ взаимно просты, то $a$ и $b$ также взаимно просты, поэтому $2a^2$ и $2b^2$ не могут одновременно делиться ни на какое $d > 2$.
Натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a + b$ и $a_2 + b_2$ равен 1 или 2.
Решение:
Если $a^2 + b^2$ и $a + b$ делятся на $d$, то и $(a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 2ab$ делится на $d$. Следовательно, $2a^2 = 2a(a+b)^2 - 2ab$ и $2b^2 = 2b (a + b)- 2ab$ делятся на $d$.
Но если $a$ и $b$ взаимно просты, то $a$ и $b$ также взаимно просты, поэтому $2a^2$ и $2b^2$ не могут одновременно делиться ни на какое $d > 2$.
