Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3423
2019-06-03 
Докажите, что для любого натурального числа $d$ существует делящееся на него натуральное число $n$, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на $d$.
Решение:
Первый способ. Число $n$ можно записать в виде $n = 10^k(10a + b) + c$, где $0 \leq c < 10^k, b$ - ненулевая цифра, которую вычеркиваем, $а$ - число, образованное цифрами, стоящими левее $b$. Тогда после вычеркивания получится число $n_1 = 10^k a + c$. Разность этих чисел - $n - n_1 = 10^k(9a + b)$. Чтобы выполнялось условие задачи, достаточно, чтобы числа $9a + b$ и $10^k a + c$ делились на $d$. Если $d$ не делится на 9, то в качестве $b$ возьмем остаток от деления $d$ на 9, иначе положим $b = 9$. Тогда $d - b$ делится на 9, и мы возьмем $a = \frac{d-b}{9}$. Имеем $9a + b = d$, и осталось подобрать $c$ и $k$, чтобы $10^k a + c$ делилось на $d$. Пусть $k$ - такое число, что $10^{k-1} > d$. Число $10^k a + 10^{k-1}$ разделим с остатком на $d$: $10^k a + 10^{k-1} = dq + r, 0 \leq r < d$. Положим $c = 10^{k-1} - r > 0$, тогда $10^k a + c = dq$ делится на $d$.
Второй способ (предложен школьниками на олимпиаде). Рассмотрим для произвольного натурального $k$ число $n_k = 10^k d - d$. Пусть $l$ - количество знаков в десятичной записи числа $d$. Заметим, что при достаточно больших $k$ (а именно, при $k > l$) десятичная запись числа $n_k$ выглядит следующим образом: сначала идет десятичная запись числа $d - 1$, затем - серия девяток, и наконец - десятичная запись числа $10^l - d$. Таким образом, при $k \geq l$ число $n_k$ можно получить из числа $n_{k+1}$ путем вычеркивания одной из девяток в центральной части десятичной записи. Очевидно также, что все числа $n_k$ делятся на $d$.
Докажите, что для любого натурального числа $d$ существует делящееся на него натуральное число $n$, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на $d$.
Решение:
Первый способ. Число $n$ можно записать в виде $n = 10^k(10a + b) + c$, где $0 \leq c < 10^k, b$ - ненулевая цифра, которую вычеркиваем, $а$ - число, образованное цифрами, стоящими левее $b$. Тогда после вычеркивания получится число $n_1 = 10^k a + c$. Разность этих чисел - $n - n_1 = 10^k(9a + b)$. Чтобы выполнялось условие задачи, достаточно, чтобы числа $9a + b$ и $10^k a + c$ делились на $d$. Если $d$ не делится на 9, то в качестве $b$ возьмем остаток от деления $d$ на 9, иначе положим $b = 9$. Тогда $d - b$ делится на 9, и мы возьмем $a = \frac{d-b}{9}$. Имеем $9a + b = d$, и осталось подобрать $c$ и $k$, чтобы $10^k a + c$ делилось на $d$. Пусть $k$ - такое число, что $10^{k-1} > d$. Число $10^k a + 10^{k-1}$ разделим с остатком на $d$: $10^k a + 10^{k-1} = dq + r, 0 \leq r < d$. Положим $c = 10^{k-1} - r > 0$, тогда $10^k a + c = dq$ делится на $d$.
Второй способ (предложен школьниками на олимпиаде). Рассмотрим для произвольного натурального $k$ число $n_k = 10^k d - d$. Пусть $l$ - количество знаков в десятичной записи числа $d$. Заметим, что при достаточно больших $k$ (а именно, при $k > l$) десятичная запись числа $n_k$ выглядит следующим образом: сначала идет десятичная запись числа $d - 1$, затем - серия девяток, и наконец - десятичная запись числа $10^l - d$. Таким образом, при $k \geq l$ число $n_k$ можно получить из числа $n_{k+1}$ путем вычеркивания одной из девяток в центральной части десятичной записи. Очевидно также, что все числа $n_k$ делятся на $d$.
