Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3434
2019-06-03 
Существует ли 2005 различных натуральных чисел таких, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Решение:
Несложно подобрать три натуральных числа таких, что сумма любых двух из них делится на третье: 1, 2 и 3. Заметим, что одно из этих чисел равно сумме двух других ($3 = 2 +1$). Добавим к этим числам еще одно - их сумму. Полученный набор чисел (1, 2, 3, 6) также обладает тем свойством, что сумма любых трех из них делится на четвертое.
Покажем, что добавляя к любому набору чисел, обладающему нужным нам свойством, их сумму, мы опять получим набор, обладающий нужным нам свойством. Действительно, пусть числа $a_1, \cdots, a_k$ таковы, что сумма любых $k - 1$ из них делится на оставшееся, тогда $S_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ делится на каждое из этих чисел.
Рассмотрим набор ($a_1, a_2, \cdots, a_k, S_k$). Ясно, что для любого $i$ сумма всех чисел этого набора, кроме $a_i$, равна $2S_k - a_i$ и делится на $a_i$, поскольку $S_k$ делится на $a_i$. Теперь ясно, что этот набор удовлетворяет условиям задачи, так что мы можем взять $a_{k+1} = S_k$.
Теперь, начав с набора 1, 2, 3 и проделав описанную выше операцию нужное количество раз, мы получим набор: $1, 2, 3, 6, 12, 24, \cdots, 3 \cdot 2^{2003}$, удовлетворяющий требованиям задачи.
Ответ: Да, существуют. Например $1, 2, 3, 6, 12, 24, \cdots, 3 \cdot 2^{2003}$.
Существует ли 2005 различных натуральных чисел таких, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Решение:
Несложно подобрать три натуральных числа таких, что сумма любых двух из них делится на третье: 1, 2 и 3. Заметим, что одно из этих чисел равно сумме двух других ($3 = 2 +1$). Добавим к этим числам еще одно - их сумму. Полученный набор чисел (1, 2, 3, 6) также обладает тем свойством, что сумма любых трех из них делится на четвертое.
Покажем, что добавляя к любому набору чисел, обладающему нужным нам свойством, их сумму, мы опять получим набор, обладающий нужным нам свойством. Действительно, пусть числа $a_1, \cdots, a_k$ таковы, что сумма любых $k - 1$ из них делится на оставшееся, тогда $S_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ делится на каждое из этих чисел.
Рассмотрим набор ($a_1, a_2, \cdots, a_k, S_k$). Ясно, что для любого $i$ сумма всех чисел этого набора, кроме $a_i$, равна $2S_k - a_i$ и делится на $a_i$, поскольку $S_k$ делится на $a_i$. Теперь ясно, что этот набор удовлетворяет условиям задачи, так что мы можем взять $a_{k+1} = S_k$.
Теперь, начав с набора 1, 2, 3 и проделав описанную выше операцию нужное количество раз, мы получим набор: $1, 2, 3, 6, 12, 24, \cdots, 3 \cdot 2^{2003}$, удовлетворяющий требованиям задачи.
Ответ: Да, существуют. Например $1, 2, 3, 6, 12, 24, \cdots, 3 \cdot 2^{2003}$.
