Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3329
2019-06-02 
Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел $m$ и $n$ равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел $m + 2000n$ и $n + 2000m$?
Решение:
Пусть $a = 2000m + n, b = 2000n + m, d$ - наибольший общий делитель $a$ и $b$. Тогда $d$ делит также числа
$2000a - b = (2002^2 - 1)m$ и$ 2000b - a = (2000^2 - 1)n$.
Поскольку $m$ и $n$ взаимно просты, то $d$ является также делителем числа $2000^2 - 1$. С другой стороны, при $m = 2000^2 - 2000 - 1, n = 1$, получаем $a = (2000^2 - 1)(2000 - 1), b = 2000^2 - 1 = d$.
Ответ: $2000^2 - 1$.
Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел $m$ и $n$ равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел $m + 2000n$ и $n + 2000m$?
Решение:
Пусть $a = 2000m + n, b = 2000n + m, d$ - наибольший общий делитель $a$ и $b$. Тогда $d$ делит также числа
$2000a - b = (2002^2 - 1)m$ и$ 2000b - a = (2000^2 - 1)n$.
Поскольку $m$ и $n$ взаимно просты, то $d$ является также делителем числа $2000^2 - 1$. С другой стороны, при $m = 2000^2 - 2000 - 1, n = 1$, получаем $a = (2000^2 - 1)(2000 - 1), b = 2000^2 - 1 = d$.
Ответ: $2000^2 - 1$.
