Натуральные числа $a, b, c, d$ таковы, что $ab = cd$. Может ли число $a+b+c+d$ быть простым?
Подробнее
Целые числа $a, b$ и $c$ таковы, что числа $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ и $\frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}$ тоже целые. Докажите, что $|a| = |b| = |c|$.
Подробнее
Доказать, что существует бесконечно много таких составных $n$, что $3^{n-1} - 2^{n-1}$ кратно $n$.
Подробнее
Докажите, что если для чисел $a, b и c$ выполняются неравенства $|a - b| \geq |c|, |b - c| \geq |a|, |c - a| \geq |b|$, то одно из этих чисел равно сумме двух других.
Подробнее
Целые числа от 1 до $n$ записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат а) при $n = 9$, б) при $n = 11$, в) при $n = 1996$.
Подробнее
Положительные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $a^2 + b^2 - ab = c^2$. Докажите, что $(a-c)(b-c) \leq 0$.
Подробнее
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что число $n$ представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа $n-1$ и $n+1$ - нет.
Подробнее
Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остается составным. Существует ли такое 1997-значное число?
Подробнее
Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?
Подробнее
Некоторые из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{200}$ написаны синим карандашом, а остальные - красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.
Подробнее
Является ли число $4^9 + 6^{10} + 3^{20}$ простым?
Подробнее
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Подробнее
Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке (число $n$ фиксировано). Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит $81^n$.
Подробнее
Сравнив дроби $x = \frac{111110}{111111}, y = \frac{222221}{222223}, z = \frac{333331}{333334}$, расположите их в порядке возрастания.
Подробнее
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа $a, b, c, d$, для которых числа $a^2 + 2cd + b^2$ и $c^2 + 2ab + d^2$ являются полными квадратами.
Подробнее