Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3644
2019-06-13 
Четыре различных целых трехзначных числа, начинающихся с одной и той же цифры, обладают тем свойством, что их сумма делится на три из них без остатка. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть $x_1, x_2, x_3, x_4$ - искомые числа, $S$ - их сумма, $a$ - первая цифра каждого из них. Ясно, что $100a \leq x_i < 100 (а + 1) (i = 1, 2, 3, 4)$.
Пользуясь этими неравенствами, получим $x_i + 300a \leq S < x_i + 300 (a + 1)$, откуда
$1 + \frac{300a}{x_i} \leq \frac{S}{x_i} < 1 + \frac {300 (a + 1)}{x_i}$,
следовательно,
$1 + \frac{3a}{a+1} < \frac{S}{x_i} < 4 + \frac{3}{a}$.
При $a = 1$ получим неравенства $2,5 < \frac{S}{x_i} < 7$, а при $a \geq 2: 3 < \frac{S}{x_i} < 5,5$. Остается сделать перебор.
Поскольку три из четырех частных $\frac{S}{x_i}$ - целые и различные числа, то случай $a \geq 2$ невозможен (между 3 и 5,5 - лишь два целых числа). Поэтому $a = 1$ и целые частные следует искать среди чисел 3, 4, 5 и 6. Но 3 и 6 не могут одновременно быть частными, так как отношение любых двух трехзначных чисел от 100 до 199 меньше двух. Остались две возможности: 1) три частных 3, 4, 5 и 2) три частных 6, 5, 4. В обоих случаях $S$ делится на 60: $S = 60k$. В первом случае искомые числа: $12k, 15k, 20k$ и $13k$.
Первая цифра одинакова у всех чисел только при $k = 9$, что и дает ответ. Во втором случае набор чисел $10k, 12k, 15k$ и $23k$ не удовлетворяет условию задачи ни при каком $k$, так как отношение чисел $23k$ и $10k$ больше двух.
Ответ. 108, 135, 180, 117.
Четыре различных целых трехзначных числа, начинающихся с одной и той же цифры, обладают тем свойством, что их сумма делится на три из них без остатка. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть $x_1, x_2, x_3, x_4$ - искомые числа, $S$ - их сумма, $a$ - первая цифра каждого из них. Ясно, что $100a \leq x_i < 100 (а + 1) (i = 1, 2, 3, 4)$.
Пользуясь этими неравенствами, получим $x_i + 300a \leq S < x_i + 300 (a + 1)$, откуда
$1 + \frac{300a}{x_i} \leq \frac{S}{x_i} < 1 + \frac {300 (a + 1)}{x_i}$,
следовательно,
$1 + \frac{3a}{a+1} < \frac{S}{x_i} < 4 + \frac{3}{a}$.
При $a = 1$ получим неравенства $2,5 < \frac{S}{x_i} < 7$, а при $a \geq 2: 3 < \frac{S}{x_i} < 5,5$. Остается сделать перебор.
Поскольку три из четырех частных $\frac{S}{x_i}$ - целые и различные числа, то случай $a \geq 2$ невозможен (между 3 и 5,5 - лишь два целых числа). Поэтому $a = 1$ и целые частные следует искать среди чисел 3, 4, 5 и 6. Но 3 и 6 не могут одновременно быть частными, так как отношение любых двух трехзначных чисел от 100 до 199 меньше двух. Остались две возможности: 1) три частных 3, 4, 5 и 2) три частных 6, 5, 4. В обоих случаях $S$ делится на 60: $S = 60k$. В первом случае искомые числа: $12k, 15k, 20k$ и $13k$.
Первая цифра одинакова у всех чисел только при $k = 9$, что и дает ответ. Во втором случае набор чисел $10k, 12k, 15k$ и $23k$ не удовлетворяет условию задачи ни при каком $k$, так как отношение чисел $23k$ и $10k$ больше двух.
Ответ. 108, 135, 180, 117.
